Determine todos os pontos onde cada função é diferenciável e calcule a derivada da função. [Curiosidade: as funções senh, cosh e tanh são ditas seno hiperbólico, cosseno hiperbólico e tangente hiperbólica] [Observação:
]
Passo 1
O enunciado pede para determinar onde a função
é diferenciável e calcular sua derivada.
O conteúdo envolve domínio de logaritmo com base variável e derivação usando regra do quociente.
O conteúdo envolve domínio de logaritmo com base variável e derivação usando regra do quociente.
Passo 2
Para que
exista, precisamos que:
- o argumento seja positivo:
para todo . - a base seja positiva e diferente de 1:
sempre, e .
Passo 3
Da condição
vem
, isto é,
.
Logo o domínio de é
.
Logo o domínio de
Passo 4
Reescrevemos o logaritmo em função de log natural:
Passo 5
Aplicamos a regra do quociente a
Calculamos
A regra do quociente dá
Passo 6
Como
e
são diferenciáveis em todo
e
nesse domínio, concluímos que
é diferenciável para todo
.
Resposta
A função
é diferenciável para todo
e