Determine todos os pontos onde cada função é diferenciável e calcule a derivada da função. [Curiosidade: as funções senh, cosh e tanh são ditas seno hiperbólico, cosseno hiperbólico e tangente hiperbólica] [Observação:
cosh ^2(x)-senh^2(x)=1 ]
f(x)=log (x^2+1)(2^x)

Passo 1

O enunciado pede para determinar onde a função
f(x)=log,x^2+1l(2^xr)
é diferenciável e calcular sua derivada.
O conteúdo envolve domínio de logaritmo com base variável e derivação usando regra do quociente.

Passo 2

Para que f(x)=loga(x)l(b(x)r) exista, precisamos que:
  1. o argumento seja positivo: b(x)=2^x>0 para todo xinR.
  2. a base seja positiva e diferente de 1: a(x)=x^2+1>0 sempre, e x^2+1neq1.

Passo 3

Da condição x^2+1neq1 vem x^2neq0, isto é, xneq0.
Logo o domínio de f é Rsetminus0.

Passo 4

Reescrevemos o logaritmo em função de log natural:
f(x)=lnl(2^xr)lnl(x^2+1r) =x,ln2lnl(x^2+1r)

Passo 5

Aplicamos a regra do quociente a
f(x)=u(x)v(x), u(x)=x,ln2, v(x)=ln(x^2+1)
Calculamos
u'(x)=ln2, v'(x)=2xx^2+1
A regra do quociente dá
f'(x) =u'(x),v(x)-u(x),v'(x)[v(x)]^2 =ln2;ln(x^2+1);-;xln2;2xx^2+1[ln(x^2+1)]^2

Passo 6

Como u e v são diferenciáveis em todo Rsetminus0 e v(x)neq0 nesse domínio, concluímos que f é diferenciável para todo xneq0.

Resposta

A função f é diferenciável para todo xneq0 e
f'(x) =ln2;l((x^2+1),ln(x^2+1)-2x^2r) (x^2+1),[ln(x^2+1)]^2

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