Determine o valor da constante
tal que a EDO abaixo seja exata. Determine também neste caso uma família de soluções.
Passo 1
O enunciado pede para achar
tal que a equação diferencial
seja exata, e em seguida determinar a família de soluções desse caso. Para isso vamos usar a condição de exatidão de uma 1-forma
:
Passo 2
Identificamos
Logo,
Para exatidão impomos
Passo 3
Com
a equação é exata e existe uma função potencial
tal que
Integramos em
:
Para achar
derivamos em
e igualamos a
:
Passo 4
Assim a solução implícita fica
onde
é constante arbitrária.
Resposta
A família de soluções implícita é