Determine o valor da constante k in R tal que a EDO abaixo seja exata. Determine também neste caso uma família de soluções.
3 x^2 y+y^2 x+(x^3+k x^2 y) d yd x=0

Passo 1

O enunciado pede para achar kinR tal que a equação diferencial
3 x^2 y + x y^2 + l(x^3+k x^2 yr)dydx=0
seja exata, e em seguida determinar a família de soluções desse caso. Para isso vamos usar a condição de exatidão de uma 1-forma M(x,y),dx + N(x,y),dy=0:
partial Mpartial y ;=;partial Npartial x

Passo 2

Identificamos
M(x,y)=3x^2y + x y^2, N(x,y)=x^3+k x^2y
Logo,
partial Mpartial y =3x^2+2xy, partial Npartial x =3x^2+2kxy
Para exatidão impomos
3x^2+2xy = 3x^2+2kxy Longrightarrow k=1

Passo 3

Com k=1 a equação é exata e existe uma função potencial F(x,y) tal que
Fx = M = 3x^2y + x y^2
Integramos em x:
F(x,y) =integrall(3x^2y + x y^2r),dx = x^3y + 12,x^2y^2 + h(y)
Para achar h(y) derivamos em y e igualamos a N:
Fy = x^3 + x^2y + h'(y) ;overset!=; N = x^3 + x^2y Longrightarrow h'(y)=0 ;Rightarrow; h(y)=const

Passo 4

Assim a solução implícita fica
F(x,y)=C Longrightarrow x^3y + 12,x^2y^2 = C,
onde C é constante arbitrária.

Resposta

k=1.
A família de soluções implícita é
x^3y + tfrac12,x^2y^2 = C

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