Questão 4. Determine a lei de formação da função quadrática, onde f(1)=4, f(3)=-2 e f(0)=-2.
R: f(x)=-3 x^2+9 x-2

Passo 1

O enunciado pede para determinar a função quadrática f(x)=ax^2+bx+c que satisfaz os três pontos (1,4), (3,-2) e (0,-2). Vamos usar a forma geral de um polinômio de segundo grau e resolver um sistema para encontrar a, b e c.

Passo 2

Como f(0)=-2, basta substituir x=0 em
f(x)=ax^2+bx+c
para obter
f(0)=c=-2

Passo 3

Agora usamos f(1)=4. Substituindo x=1 em ax^2 + bx + c e sabendo c=-2, temos
a cdot 1^2 + b cdot 1 + (-2) = 4 Longrightarrow a + b - 2 = 4 Longrightarrow a + b = 6

Passo 4

Em seguida usamos f(3)=-2. Substituindo x=3 e c=-2 em ax^2 + bx + c resulta
a cdot 3^2 + b cdot 3 + (-2) = -2 Longrightarrow 9a + 3b - 2 = -2 Longrightarrow 9a + 3b = 0
Dividindo por 3 ficamos com
3a + b = 0

Passo 5

Resolvendo o sistema
a + b = 6, 3a + b = 0,
subtraímos a primeira equação da segunda:
(3a+b)-(a+b)=0-6 Longrightarrow 2a = -6 Longrightarrow a = -3
Substituindo a=-3 em a+b=6
-3 + b = 6 Longrightarrow b = 9

Passo 6

Reunindo os coeficientes a=-3, b=9 e c=-2, a lei de formação fica
f(x) = -3x^2 + 9x - 2

Resposta

f(x) = -3x^2 + 9x - 2

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