Determine todos os pontos onde cada função vetorial é diferenciável e calcule a derivada da função.
v(t)=(t^3-4 t^2) i-5 j+2 tan (t^2) k

Passo 1

Resumindo, temos a função vetorial
vec v(t)=(t^3-4t^2),vec i-5,vec j+2tan(t^2),vec k.
O objetivo é achar os pontos onde ela é diferenciável e calcular vec v'(t).

Passo 2

Analisamos componente a componente:
(t^3-4t^2) é polinomial, logo diferenciável em R.
-5 é constante, diferenciável em R.
2tan(t^2) é diferenciável sempre que tan for diferenciável em t^2, ou seja, quando
t^2neq pi2+kpi, kin Z

Passo 3

Portanto v é diferenciável para todo
t in R com t^2 neq pi2 + kpi, ; k in Z,
equivalente a
t neq pm raizpi2 + kpi para k = 0,1,2,dots.

Passo 4

Agora derivamos cada componente:
ddt(t^3-4t^2)=3t^2-8t
ddt(-5)=0
– Usando cadeia em 2tan(t^2):
ddtl(2tan(t^2)r) =2cdotsec^2(t^2)cdotddt(t^2) =2cdotsec^2(t^2)cdot2t =4t,sec^2(t^2)

Passo 5

Reunindo, a derivada vetorial é
vec v'(t)=(3t^2-8t),vec i+0,vec j+4t,sec^2(t^2),vec k

Resposta

vec v é diferenciável para todo
tin R com t^2neq pi2+kpi,;kin Z,
e
vec v'(t)=(3t^2-8t),vec i+4t,sec^2(t^2),vec k

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