Determine todos os pontos onde cada função vetorial é diferenciável e calcule a derivada da função.
Passo 1
O enunciado dá a função vetorial
e pede (a) todos os pontos
onde
é diferenciável e (b) a derivada
.
Vamos usar análise de domínio para garantir onde cada componente existe e depois aplicar as regras de derivação (quociente, potência e constante multiplica).
Vamos usar análise de domínio para garantir onde cada componente existe e depois aplicar as regras de derivação (quociente, potência e constante multiplica).
Passo 2
Cada componente tem domínio:
-
exige . -
exige . -
está definido em todo .
A interseção dos domínios é
Como soma e composição de funções elementares diferenciáveis em
é diferenciável em todo
, só resta verificar
. Em
temos
cuja derivada por potência é
, finita em
. Logo
é diferenciável para todo
com
.
Passo 3
Derivada da primeira componente
usando quociente:
Passo 4
Derivada da segunda componente
pelo regra de potência:
Passo 5
Derivada da terceira componente
é imediata:
Passo 6
Juntando as componentes, a derivada vetorial é
válida para todo
com
.
Resposta
A função
é diferenciável para todos os
,
, e