Determine todos os pontos onde cada função vetorial é diferenciável e calcule a derivada da função.
v(t)=t^3t-5 i+t raizt j-3 t k

Passo 1

O enunciado dá a função vetorial
vec v(t)=t^3t-5,vec i ;+;traizt,vec j;-;3t,vec k
e pede (a) todos os pontos t onde vec v é diferenciável e (b) a derivada vec v'(t).
Vamos usar análise de domínio para garantir onde cada componente existe e depois aplicar as regras de derivação (quociente, potência e constante multiplica).

Passo 2

Cada componente tem domínio:
  • t^3t-5 exige tneq5.
  • traizt=t,t^1/2=t^3/2 exige t>=0.
  • -3t está definido em todo R.
    A interseção dos domínios é
D=,tmid t>=0setminus5
Como soma e composição de funções elementares diferenciáveis em D é diferenciável em todo D, só resta verificar t=0. Em t=0 temos traizt=t^3/2 cuja derivada por potência é tfrac32,t^1/2, finita em t=0. Logo vec v é diferenciável para todo tin[0,infty) com tneq5.

Passo 3

Derivada da primeira componente f1(t)=dfract^3t-5 usando quociente:
f1'(t) =(3t^2)(t-5)-t^3cdot1(t-5)^2 =3t^3-15t^2-t^3(t-5)^2 =2t^3-15t^2(t-5)^2 =t^2(2t-15)(t-5)^2

Passo 4

Derivada da segunda componente f2(t)=traizt=t^3/2 pelo regra de potência:
f2'(t)=32,t^tfrac12=32raizt

Passo 5

Derivada da terceira componente f3(t)=-3t é imediata:
f3'(t)=-3

Passo 6

Juntando as componentes, a derivada vetorial é
vec v'(t) =t^2(2t-15)(t-5)^2,vec i +32raizt,vec j -3,vec k,
válida para todo tin[0,infty) com tneq5.

Resposta

A função vec v(t) é diferenciável para todos os t>=0, tneq5, e
boxed vec v'(t) =t^2(2t-15)(t-5)^2,vec i +32raizt,vec j -3,vec k

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