Usando a Regra do Quociente, calcule a derivada das funções:
46. g(x)=x^4e^x

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função
g(x)=x^4e^x
usando a Regra do Quociente. Para isso, vamos lembrar que se g(x)=u(x)v(x), então
g'(x)=u'(x),v(x)-u(x),v'(x)[v(x)]^2
Também precisamos das derivadas básicas de potência e de exponencial.

Passo 2

Definimos
u(x)=x^4, v(x)=e^x
Logo
u'(x)=4x^3, v'(x)=e^x

Passo 3

Aplicando a Regra do Quociente:
g'(x) = u'(x),v(x)-u(x),v'(x)[v(x)]^2 = 4x^3,e^x-x^4,e^x(e^x)^2

Passo 4

No numerador, fatoramos e^x e x^3:
4x^3e^x-x^4e^x = e^xx^3(4-x)
Como o denominador é e^2x, cancelamos um e^x:
g'(x) = e^xx^3(4-x)e^2x = x^3(4-x)e^x

Resposta

g'(x)=x^3(4-x)e^x

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