Determine todos os subgrupos do grupo aditivo
.
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede:
- Dá o grupo aditivo
, isto é, os inteiros módulo sob adição. Os seus elementos são
com adição feita módulo
(por exemplo
).
- Pede: determinar todos os subgrupos de
.
Passo 2
Conceitos básicos que vou usar (explicando devagar):
- Subgrupo: um subconjunto
que contém o elemento neutro , é fechado para a operação (soma) e contém inversos aditivos. Em grupos finitos, outra pista útil é que o tamanho de um subgrupo divide o tamanho do grupo (Teorema de Lagrange): divide . Então possíveis ordens para um subgrupo são , ou . - Subgrupo gerado por um elemento
: (aqui significa somar consigo mesmo vezes, reduzindo módulo ). Em um grupo cíclico todo subgrupo é cíclico e aparece como para algum . Observação prática: basta calcular para cada e listar os distintos obtidos.
Passo 3
Calcular
:
- Para qualquer
tem . - Logo
Isto é o subgrupo trivial (ordem
), satisfaz a condição de Lagrange.
Passo 4
Calcular
:
- Liste as somas:
, , , … - Portanto os elementos obtidos são
e , e nenhum outro. - Conclusão:
Este é um subgrupo de ordem
, que também é compatível com Lagrange.
Passo 5
Calcular
:
- Liste as somas:
, , , . - Isso gera todos os elementos
. - Assim
É o próprio grupo (ordem
).
Passo 6
Calcular
:
- Note que
. Liste: , , , . - Os elementos gerados são
. - Portanto
Passo 7
Reunindo e justificando que não há outros subgrupos:
- Calculamos
para todos os e obtivemos apenas três subconjuntos distintos: , e . - Pela propriedade de grupos cíclicos (ou pelo fato de que as ordens possíveis são
e já encontramos subgrupos com essas ordens), não existe nenhum outro subgrupo diferente desses. - Portanto a lista está completa.