Determine todos os subgrupos do grupo aditivo \mathbb{Z}_{4}.

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:
  • Dá o grupo aditivo \mathbb{Z}_{4}, isto é, os inteiros módulo 4 sob adição. Os seus elementos são
\mathbb{Z}_{4}=\{\,0,1,2,3\,\},
com adição feita módulo 4 (por exemplo 3+2\equiv1\pmod{4}).
  • Pede: determinar todos os subgrupos de \mathbb{Z}_{4}.

Passo 2

Conceitos básicos que vou usar (explicando devagar):
  • Subgrupo: um subconjunto H\subseteq\mathbb{Z}_{4} que contém o elemento neutro 0, é fechado para a operação (soma) e contém inversos aditivos. Em grupos finitos, outra pista útil é que o tamanho de um subgrupo divide o tamanho do grupo (Teorema de Lagrange): |H| divide |\mathbb{Z}_{4}|=4. Então possíveis ordens para um subgrupo são 1, 2 ou 4.
  • Subgrupo gerado por um elemento a: \langle a\rangle=\{k\cdot a\mid k\in\mathbb{Z}\} (aqui k\cdot a significa somar a consigo mesmo k vezes, reduzindo módulo 4). Em um grupo cíclico todo subgrupo é cíclico e aparece como \langle a\rangle para algum a. Observação prática: basta calcular \langle a\rangle para cada a\in\mathbb{Z}_{4} e listar os distintos obtidos.

Passo 3

Calcular \langle 0\rangle:
  • Para qualquer k\in\mathbb{Z} tem k\cdot 0=0.
  • Logo
\langle 0\rangle=\{0\}.
Isto é o subgrupo trivial (ordem 1), satisfaz a condição de Lagrange.

Passo 4

Calcular \langle 2\rangle:
  • Liste as somas: 1\cdot 2=2, 2\cdot 2=4\equiv 0\pmod{4}, 3\cdot 2=6\equiv2\pmod{4}, …
  • Portanto os elementos obtidos são 0 e 2, e nenhum outro.
  • Conclusão:
\langle 2\rangle=\{0,2\}.
Este é um subgrupo de ordem 2, que também é compatível com Lagrange.

Passo 5

Calcular \langle 1\rangle:
  • Liste as somas: 1\cdot 1=1, 2\cdot 1=2, 3\cdot 1=3, 4\cdot 1=4\equiv0\pmod{4}.
  • Isso gera todos os elementos 0,1,2,3.
  • Assim
\langle 1\rangle=\{0,1,2,3\}=\mathbb{Z}_{4}.
É o próprio grupo (ordem 4).

Passo 6

Calcular \langle 3\rangle:
  • Note que 3\equiv -1\pmod{4}. Liste: 1\cdot 3=3, 2\cdot 3=6\equiv2, 3\cdot 3=9\equiv1, 4\cdot 3=12\equiv0.
  • Os elementos gerados são 0,1,2,3.
  • Portanto
\langle 3\rangle=\mathbb{Z}_{4}.

Passo 7

Reunindo e justificando que não há outros subgrupos:
  • Calculamos \langle a\rangle para todos os a\in\mathbb{Z}_{4} e obtivemos apenas três subconjuntos distintos: \{0\}, \{0,2\} e \mathbb{Z}_{4}.
  • Pela propriedade de grupos cíclicos (ou pelo fato de que as ordens possíveis são 1,2,4 e já encontramos subgrupos com essas ordens), não existe nenhum outro subgrupo diferente desses.
  • Portanto a lista está completa.

Resposta

\{0\}
\{0,2\}
\mathbb{Z}_{4}

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