Verifique se
é grupo com relação a alguma das seguintes leis:
Passo 1
O enunciado dá o conjunto e a lei e pede para verificar se isso forma um grupo.
- Conjunto:
. - Lei proposta:
, onde a multiplicação na direita é a multiplicação usual de inteiros. - Pergunta:
, com essa operação, é um grupo?
Passo 2
Lembrete do que é um grupo (explicando passo a passo). Um conjunto
com uma operação
é um grupo se satisfaz quatro propriedades:
- Fechamento: para todo
, tem-se . Ou seja, o resultado da operação não sai do conjunto. - Associatividade: para todo
, . - Existência de elemento neutro (identidade): existe
tal que, para todo , . - Existência de inversos: para todo
existe tal que .
Se qualquer uma dessas falhar, o conjunto com a operação não é grupo. Vou checar cada uma para
com a operação dada.
Passo 3
Fechamento. Tome
. Então
Como
e
(produto de inteiros é inteiro), o par
pertence a
. Logo, a operação é fechada.
Passo 4
Associatividade. Para
calcule:
e
Como a multiplicação de inteiros é associativa (
e
), os dois resultados coincidem. Portanto a operação é associativa.
Passo 5
Elemento neutro. Procuramos
tal que, para todo
,
Pelo cálculo da operação, isso exige
para todo
e
para todo
. Na multiplicação inteira a única maneira de
para todo
é ter
; similarmente
. Assim o neutro é
. Verificação direta:
Logo o elemento neutro existe e é
.
Passo 6
Inversos. Para
buscar um inverso
tal que
Isso é equivalente a resolver as equações inteiras
Na aritmética dos inteiros, a única maneira de um produto
ser
é que
e
com sinais compatíveis (porque os únicos divisores unitários de
em
são
). Portanto somente se
e
é que existirão
com
e
. Por exemplo,
não tem inverso: não existe
com
.
Logo nem todo elemento de
tem inverso. A propriedade de existência de inversos falha.
Passo 7
Conclusão final do raciocínio. As propriedades de fechamento, associatividade e existência de neutro são satisfeitas, mas a existência de inversos não é satisfeita para todos os elementos. Por isso
com a operação
NÃO é um grupo.
Observação extra útil para a prova: o conjunto é, entretanto, um monoide abeliano (ou seja, tem operação associativa, neutro e é comutativo), e os únicos elementos invertíveis (unidades) são os pares cujas duas componentes são unidades em
, isto é os quatro elementos
.
Resposta
Não.
com
não é grupo, porque nem todo elemento tem inverso (apenas os pares com componentes
são invertíveis).