Verifique se \mathbb{Z} \times \mathbb{Z} é grupo com relação a alguma das seguintes leis:
(a, b) \cdot(c, d)=(a \cdot c, b \cdot d)

Passo 1

O enunciado dá o conjunto e a lei e pede para verificar se isso forma um grupo.
  • Conjunto: \mathbb{Z}\times\mathbb{Z}=\{(a,b)\mid a\in\mathbb{Z},\;b\in\mathbb{Z}\}.
  • Lei proposta: (a,b)\cdot(c,d)=(a\cdot c,\;b\cdot d), onde a multiplicação na direita é a multiplicação usual de inteiros.
  • Pergunta: \mathbb{Z}\times\mathbb{Z}, com essa operação, é um grupo?

Passo 2

Lembrete do que é um grupo (explicando passo a passo). Um conjunto G com uma operação \star é um grupo se satisfaz quatro propriedades:
  1. Fechamento: para todo x,y\in G, tem-se x\star y\in G. Ou seja, o resultado da operação não sai do conjunto.
  2. Associatividade: para todo x,y,z\in G, (x\star y)\star z = x\star(y\star z).
  3. Existência de elemento neutro (identidade): existe e\in G tal que, para todo x\in G, e\star x = x\star e = x.
  4. Existência de inversos: para todo x\in G existe x^{-1}\in G tal que x\star x^{-1}=x^{-1}\star x = e.
Se qualquer uma dessas falhar, o conjunto com a operação não é grupo. Vou checar cada uma para \mathbb{Z}\times\mathbb{Z} com a operação dada.

Passo 3

Fechamento. Tome (a,b),(c,d)\in\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}. Então
(a,b)\cdot(c,d)=(a\cdot c,\;b\cdot d).
Como a\cdot c\in\mathbb{Z} e b\cdot d\in\mathbb{Z} (produto de inteiros é inteiro), o par (a\cdot c,\;b\cdot d) pertence a \mathbb{Z}\times\mathbb{Z}. Logo, a operação é fechada.

Passo 4

Associatividade. Para (a,b),(c,d),(e,f)\in\mathbb{Z}\times\mathbb{Z} calcule:
\big((a,b)\cdot(c,d)\big)\cdot(e,f) = (a c,\; b d)\cdot(e,f) = \big((a c)\,e,\; (b d)\,f\big)
e
(a,b)\cdot\big((c,d)\cdot(e,f)\big) = (a,b)\cdot(c e,\; d f) = \big(a\,(c e),\; b\,(d f)\big).
Como a multiplicação de inteiros é associativa ( (a c)e = a(c e) e (b d)f = b(d f)), os dois resultados coincidem. Portanto a operação é associativa.

Passo 5

Elemento neutro. Procuramos e=(e_1,e_2)\in\mathbb{Z}\times\mathbb{Z} tal que, para todo (a,b),
(a,b)\cdot(e_1,e_2)=(a,b) \quad\text{e}\quad (e_1,e_2)\cdot(a,b)=(a,b).
Pelo cálculo da operação, isso exige a e_1 = a para todo a\in\mathbb{Z} e b e_2=b para todo b\in\mathbb{Z}. Na multiplicação inteira a única maneira de a e_1=a para todo a é ter e_1=1; similarmente e_2=1. Assim o neutro é (1,1). Verificação direta:
(a,b)\cdot(1,1)=(a\cdot1,\;b\cdot1)=(a,b).
Logo o elemento neutro existe e é (1,1).

Passo 6

Inversos. Para (a,b)\in\mathbb{Z}\times\mathbb{Z} buscar um inverso (x,y)\in\mathbb{Z}\times\mathbb{Z} tal que
(a,b)\cdot(x,y)=(1,1).
Isso é equivalente a resolver as equações inteiras
a x = 1,\qquad b y = 1.
Na aritmética dos inteiros, a única maneira de um produto a x ser 1 é que a=\pm1 e x=\pm1 com sinais compatíveis (porque os únicos divisores unitários de 1 em \mathbb{Z} são \pm1). Portanto somente se a\in\{\pm1\} e b\in\{\pm1\} é que existirão x,y\in\mathbb{Z} com a x=1 e b y=1. Por exemplo, (2,1) não tem inverso: não existe x\in\mathbb{Z} com 2x=1.
Logo nem todo elemento de \mathbb{Z}\times\mathbb{Z} tem inverso. A propriedade de existência de inversos falha.

Passo 7

Conclusão final do raciocínio. As propriedades de fechamento, associatividade e existência de neutro são satisfeitas, mas a existência de inversos não é satisfeita para todos os elementos. Por isso \mathbb{Z}\times\mathbb{Z} com a operação (a,b)\cdot(c,d)=(ac,bd) NÃO é um grupo.
Observação extra útil para a prova: o conjunto é, entretanto, um monoide abeliano (ou seja, tem operação associativa, neutro e é comutativo), e os únicos elementos invertíveis (unidades) são os pares cujas duas componentes são unidades em \mathbb{Z}, isto é os quatro elementos (1,1),(-1,1),(1,-1),(-1,-1).

Resposta

Não. \mathbb{Z}\times\mathbb{Z} com (a,b)\cdot(c,d)=(ac,bd) não é grupo, porque nem todo elemento tem inverso (apenas os pares com componentes \pm1 são invertíveis).

Exercícios relacionados