Seja
um grupo com elemento neutro
. Seja
.
Mostre que
tem ordem 2 se, e somente se,
.
Mostre que
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma equivalência:
-
é um grupo com elemento neutro . -
com . - Denota-se por
o inverso de , isto é, o elemento de tal que .
A pergunta é: mostrar quetem ordem se, e somente se, .
Passo 2
Definições e fatos básicos que vamos usar (explicados com calma).
- Ordem de um elemento: a ordem de
é o menor inteiro positivo tal que , onde significa o produto ( vezes). Se não existe tal diz-se que tem ordem infinita. Aqui queremos a ordem ser , isto é, e . - Inverso e unicidade: por definição de grupo, existe um elemento
com . Esse inverso é único: se e são inversos de (ou seja, e ) então . A prova rápida da unicidade é: se e então . (Este é um fato que usaremos sem repetições.)
Passo 3
Prova da implicação direta: se
tem ordem
então
.
- Suposição:
tem ordem . Por definição, isto significa que , ou seja, , e também . - Como
é o inverso de , vale . - Agora temos duas identidades com produto à direita por
: e . Para mostrar que podemos usar multiplicação à esquerda por em : Pelo parentesamento associativo do grupo, . Como (porque é inverso de ), isso vira . E pela propriedade do neutro. Logo . - Conclusão desta parte: se
então necessariamente .
Passo 4
Prova da implicação recíproca: se
então
tem ordem
.
- Suposição:
. - Como
é o inverso de , vale . Substituindo por obtemos , ou seja, . - Agora verificar a ordem mínima: a ordem de
é o menor com . Não pode ser porque (dado do enunciado). Já vimos que . Portanto o menor com é . Logo a ordem de é . - Conclusão desta parte: se
então tem ordem .
Passo 5
Juntando as duas implicações temos a equivalência desejada:
tem ordem
se, e somente se,
. Parabéns — a prova é curta quando se conhece a definição de ordem e a propriedade do inverso, e as etapas usadas (multiplicar pela esquerda pelo inverso e usar o neutro) são exatamente as ferramentas padrão em provas envolvendo grupos.