Seja (G, *) um grupo com elemento neutro e. Seja g \in G, g \neq e.
Mostre que g tem ordem 2 se, e somente se, g=g^{\prime}.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma equivalência:
  • (G,*) é um grupo com elemento neutro e.
  • g\in G com g\neq e.
  • Denota-se por g' o inverso de g, isto é, o elemento de G tal que g*g'=g'*g=e.
    A pergunta é: mostrar que g tem ordem 2 se, e somente se, g=g'.

Passo 2

Definições e fatos básicos que vamos usar (explicados com calma).
  • Ordem de um elemento: a ordem de g é o menor inteiro positivo n tal que g^n=e, onde g^n significa o produto g*g*\cdots*g ( n vezes). Se não existe tal n diz-se que g tem ordem infinita. Aqui queremos a ordem ser 2, isto é, g^2=e e g\neq e.
  • Inverso e unicidade: por definição de grupo, existe um elemento g'\in G com g*g'=g'*g=e. Esse inverso é único: se h e k são inversos de g (ou seja, g*h=e e g*k=e) então h=k. A prova rápida da unicidade é: se g*h=e e g*k=e então h = h*e = h*(g*k) = (h*g)*k = e*k = k. (Este é um fato que usaremos sem repetições.)

Passo 3

Prova da implicação direta: se g tem ordem 2 então g=g'.
  • Suposição: g tem ordem 2. Por definição, isto significa que g^2=e, ou seja, g*g=e, e também g\neq e.
  • Como g' é o inverso de g, vale g*g'=e.
  • Agora temos duas identidades com produto à direita por g: g*g=e e g*g'=e. Para mostrar que g=g' podemos usar multiplicação à esquerda por g' em g*g=e: g'*(g*g)=g'*e.Pelo parentesamento associativo do grupo, (g'*g)*g=g'. Como g'*g=e (porque g' é inverso de g), isso vira e*g=g'. E e*g=g pela propriedade do neutro. Logo g=g'.
  • Conclusão desta parte: se g^2=e então necessariamente g=g'.

Passo 4

Prova da implicação recíproca: se g=g' então g tem ordem 2.
  • Suposição: g=g'.
  • Como g' é o inverso de g, vale g*g'=e. Substituindo g' por g obtemos g*g=e, ou seja, g^2=e.
  • Agora verificar a ordem mínima: a ordem de g é o menor n>0 com g^n=e. Não pode ser n=1 porque g\neq e (dado do enunciado). Já vimos que g^2=e. Portanto o menor n>0 com g^n=e é n=2. Logo a ordem de g é 2.
  • Conclusão desta parte: se g=g' então g tem ordem 2.

Passo 5

Juntando as duas implicações temos a equivalência desejada: g tem ordem 2 se, e somente se, g=g'. Parabéns — a prova é curta quando se conhece a definição de ordem e a propriedade do inverso, e as etapas usadas (multiplicar pela esquerda pelo inverso e usar o neutro) são exatamente as ferramentas padrão em provas envolvendo grupos.

Resposta

g tem ordem 2 se, e somente se, g=g'.

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