Determine todos os valores da constante real
, de modo que, a função
, seja uma solução no intervalo (
) da EDO:
Passo 1
O enunciado dá:
- A função
definida por , onde é uma constante real a determinar. - A equação diferencial ordinária
O que é pedido:
- Determinar todos os valores reais de
tais que a função seja solução da EDO em .
Passo 2
Calcular as derivadas de
. Aqui usamos que, para
e
, vale a regra da potência via
e diferenciação por cadeia, o que dá a fórmula da derivada:
Aplicando novamente para a segunda derivada:
Expliquei isso porque em prova pode ser pedido justificar a derivação para expoentes reais — a transformação
é a justificativa formal.
Passo 3
Substituir
,
e
na EDO. Reescrevendo com as expressões encontradas:
Agora simplificar cada termo: em todos aparece um fator
, porque
e
. Assim:
Passo 4
Fatorar
da expressão:
Como estamos no intervalo
, temos
para todo
. Portanto a condição para a igualdade ser verdadeira para todos
é que o parêntese seja zero:
Desenvolvendo esse polinômio:
Passo 5
Resolver a equação quadrática
Usando a fórmula de Bhaskara (fórmula quadrática): para
temos
. Aqui
,
,
. O discriminante é
logo
. Portanto
Isso dá as duas raízes:
Passo 6
Interpretação final e observação útil para prova: os valores de
encontrados são
e
. Isso significa que
e
são soluções da EDO em
. (Comentário extra para estudo: equações do tipo
são chamadas de equações de Euler-Cauchy e a técnica usada aqui — tentar
e obter um polinômio em
— é a técnica padrão.)