Determine todos os valores da constante real r, de modo que, a função \varphi:(0, \infty) \rightarrow \mathbb{R}, \varphi(t)=t^{r}, seja uma solução no intervalo ( 0, \infty ) da EDO:
2 t^{2} y^{\prime \prime}+3 t y^{\prime}-y=0

Passo 1

O enunciado dá:
  • A função \varphi:(0,\infty)\to\mathbb{R} definida por \varphi(t)=t^{r}, onde r é uma constante real a determinar.
  • A equação diferencial ordinária
2 t^{2} y^{\prime \prime}+3 t y^{\prime}-y=0.
O que é pedido:
  • Determinar todos os valores reais de r tais que a função \varphi(t)=t^{r} seja solução da EDO em (0,\infty).

Passo 2

Calcular as derivadas de \varphi(t)=t^{r}. Aqui usamos que, para t>0 e r\in\mathbb{R}, vale a regra da potência via t^{r}=e^{r\ln t} e diferenciação por cadeia, o que dá a fórmula da derivada:
\varphi'(t)=r\,t^{r-1}.
Aplicando novamente para a segunda derivada:
\varphi''(t)=r(r-1)\,t^{r-2}.
Expliquei isso porque em prova pode ser pedido justificar a derivação para expoentes reais — a transformação t^{r}=e^{r\ln t} é a justificativa formal.

Passo 3

Substituir \varphi, \varphi' e \varphi'' na EDO. Reescrevendo com as expressões encontradas:
2t^{2}\bigl(r(r-1)t^{r-2}\bigr)+3t\bigl(r t^{r-1}\bigr)-t^{r}=0.
Agora simplificar cada termo: em todos aparece um fator t^{r}, porque t^{2}t^{r-2}=t^{r} e t\cdot t^{r-1}=t^{r}. Assim:
2r(r-1)\,t^{r}+3r\,t^{r}-t^{r}=0.

Passo 4

Fatorar t^{r} da expressão:
t^{r}\bigl(2r(r-1)+3r-1\bigr)=0.
Como estamos no intervalo (0,\infty), temos t^{r}\neq 0 para todo t>0. Portanto a condição para a igualdade ser verdadeira para todos t>0 é que o parêntese seja zero:
2r(r-1)+3r-1=0.
Desenvolvendo esse polinômio:
2r^{2}-2r+3r-1=2r^{2}+r-1=0.

Passo 5

Resolver a equação quadrática
2r^{2}+r-1=0.
Usando a fórmula de Bhaskara (fórmula quadrática): para ar^{2}+br+c=0 temos r=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Aqui a=2, b=1, c=-1. O discriminante é
\Delta=b^{2}-4ac=1-4\cdot2\cdot(-1)=1+8=9,
logo \sqrt{\Delta}=3. Portanto
r=\frac{-1\pm3}{2\cdot2}=\frac{-1\pm3}{4}.
Isso dá as duas raízes:
r_{1}=\frac{-1+3}{4}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}, \qquad r_{2}=\frac{-1-3}{4}=\frac{-4}{4}=-1.

Passo 6

Interpretação final e observação útil para prova: os valores de r encontrados são \tfrac{1}{2} e -1. Isso significa que \varphi(t)=t^{1/2} e \varphi(t)=t^{-1} são soluções da EDO em (0,\infty). (Comentário extra para estudo: equações do tipo a t^{2}y''+b t y'+c y=0 são chamadas de equações de Euler-Cauchy e a técnica usada aqui — tentar y=t^{r} e obter um polinômio em r — é a técnica padrão.)

Resposta

r=\tfrac{1}{2}
r=-1

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