Determine as coordenadas- x de todos os pontos do gráfico de y=x^{3}+2 x^{2}-4 x+5 em que a tangente é
paralela à reta 2 y+8 x=5.

Passo 1

O enunciado nos dá a função do gráfico e a reta cujas tangentes queremos que sejam paralelas. Informações e pedido:
  • Função dada: y = x^{3} + 2x^{2} - 4x + 5.
  • Reta dada: 2y + 8x = 5.
  • O que se pede: determinar as coordenadas- x de todos os pontos do gráfico onde a tangente é paralela a essa reta (ou seja, achar todos os valores de x onde a reta tangente ao gráfico tem a mesma inclinação/coeficiente angular da reta dada).

Passo 2

Primeiro vamos achar o coeficiente angular (declive) da reta dada. Reescrevendo a equação em forma de y = mx + b:
2y + 8x = 5 \quad\Rightarrow\quad 2y = 5 - 8x \quad\Rightarrow\quad y = -4x + \tfrac{5}{2}.
Portanto o coeficiente angular da reta é m = -4. Isso significa que queremos os pontos do gráfico cuja tangente tem inclinação -4.

Passo 3

Conceito-chave: a inclinação (coeficiente angular) da reta tangente ao gráfico de y=f(x) em um ponto x é dada pela derivada f'(x) nesse ponto. Então devemos resolver f'(x)=m, onde m é o coeficiente angular da reta dada.
Relembrando a regra básica de derivação que vamos usar (regra do poder/potência):
  • Se f(x)=x^{n} então f'(x)=n x^{n-1}. Aqui n é um número inteiro (ou real) que é o expoente e x é a variável; a regra diz que a derivada multiplica pelo expoente e reduz o expoente em 1.
  • A derivada de uma soma é a soma das derivadas.
  • A derivada de uma constante é 0.
  • A derivada de a\cdot x^{n} (com constante a) é a\cdot n x^{n-1}.
Agora aplico isso ao polinômio y = x^{3} + 2x^{2} - 4x + 5:
  • Derivada de x^{3} é 3x^{2} usando a regra do poder com n=3.
  • Derivada de 2x^{2} é 2\cdot 2x = 4x.
  • Derivada de -4x é -4.
  • Derivada de 5 é 0.
Logo a derivada (inclinação da tangente em x) é
f'(x) = 3x^{2} + 4x - 4.

Passo 4

Queremos os x tais que a tangente tenha inclinação -4. Portanto resolvemos a equação
3x^{2} + 4x - 4 = -4.
Simplificando:
3x^{2} + 4x - 4 + 4 = 0 \quad\Rightarrow\quad 3x^{2} + 4x = 0.
Fatorando o lado esquerdo:
x(3x + 4) = 0.
Das duas possibilidades do produto ser zero obtemos as soluções
x = 0 \quad\text{ou}\quad 3x + 4 = 0 \Rightarrow x = -\tfrac{4}{3}.

Passo 5

Verificação rápida (bom hábito na prova): calcular f'(x) nos valores encontrados para confirmar que a inclinação é realmente -4.
  • Para x=0: f'(0) = 3\cdot 0^{2} + 4\cdot 0 - 4 = -4.
  • Para x=-\tfrac{4}{3}: calcular 3x^{2} + 4x -4. Primeiro x^{2} = \tfrac{16}{9}, então 3x^{2}=3\cdot \tfrac{16}{9}=\tfrac{16}{3}. Também 4x = 4\cdot\big(-\tfrac{4}{3}\big) = -\tfrac{16}{3}. Assim 3x^{2}+4x-4 = \tfrac{16}{3} - \tfrac{16}{3} - 4 = -4.
    Ambos dão f'(x)=-4, como desejado.

Resposta

x = 0
x = -\tfrac{4}{3}

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