Determine as coordenadas-
de todos os pontos do gráfico de
em que a tangente é
paralela à reta
.
paralela à reta
Passo 1
O enunciado nos dá a função do gráfico e a reta cujas tangentes queremos que sejam paralelas. Informações e pedido:
- Função dada:
. - Reta dada:
. - O que se pede: determinar as coordenadas-
de todos os pontos do gráfico onde a tangente é paralela a essa reta (ou seja, achar todos os valores de onde a reta tangente ao gráfico tem a mesma inclinação/coeficiente angular da reta dada).
Passo 2
Primeiro vamos achar o coeficiente angular (declive) da reta dada. Reescrevendo a equação em forma de
:
Portanto o coeficiente angular da reta é
. Isso significa que queremos os pontos do gráfico cuja tangente tem inclinação
.
Passo 3
Conceito-chave: a inclinação (coeficiente angular) da reta tangente ao gráfico de
em um ponto
é dada pela derivada
nesse ponto. Então devemos resolver
, onde
é o coeficiente angular da reta dada.
Relembrando a regra básica de derivação que vamos usar (regra do poder/potência):
- Se
então . Aqui é um número inteiro (ou real) que é o expoente e é a variável; a regra diz que a derivada multiplica pelo expoente e reduz o expoente em 1. - A derivada de uma soma é a soma das derivadas.
- A derivada de uma constante é
. - A derivada de
(com constante ) é .
Agora aplico isso ao polinômio
:
- Derivada de
é usando a regra do poder com . - Derivada de
é . - Derivada de
é . - Derivada de
é .
Logo a derivada (inclinação da tangente em
) é
Passo 4
Queremos os
tais que a tangente tenha inclinação
. Portanto resolvemos a equação
Simplificando:
Fatorando o lado esquerdo:
Das duas possibilidades do produto ser zero obtemos as soluções
Passo 5
Verificação rápida (bom hábito na prova): calcular
nos valores encontrados para confirmar que a inclinação é realmente
.
- Para
: . - Para
: calcular . Primeiro , então . Também . Assim .
Ambos dão, como desejado.