Determine as coordenadas- x de todos os pontos do gráfico de y=x^{3}+2 x^{2}-4 x+5 em que a tangente é
horizontal;

Passo 1

O enunciado pede: determinar as coordenadas- x (ou seja, os valores de x) de todos os pontos do gráfico da função y=x^{3}+2x^{2}-4x+5 em que a tangente ao gráfico é horizontal.
Informações dadas:
  • A função é y=x^{3}+2x^{2}-4x+5.

Passo 2

Entendendo o que significa “tangente horizontal”: a reta tangente ao gráfico em um ponto tem inclinação (coeficiente angular) igual à derivada da função naquele ponto. Uma tangente é horizontal quando sua inclinação é zero. Portanto, precisamos:
  • calcular a derivada y' da função y;
  • resolver a equação y'=0 para encontrar os valores de x onde a inclinação é zero.

Passo 3

Revisão rápida e didática das regras de derivação que usaremos:
  • Regra do polinômio / potência (power rule): a derivada de x^{n} é n x^{n-1}. Exemplo: a derivada de x^{3} é 3x^{2}.
  • Regra da constante multiplicativa: a derivada de c\cdot f(x) é c\cdot f'(x).
  • Regra da soma: a derivada da soma de funções é a soma das derivadas.
  • A derivada de uma constante é zero.
Aplicando isso a cada termo:
  • derivada de x^{3} é 3x^{2};
  • derivada de 2x^{2} é 2\cdot 2x = 4x;
  • derivada de -4x é -4;
  • derivada de 5 é 0.

Passo 4

Calcular a derivada y' da função:
y' = 3x^{2} + 4x - 4.

Passo 5

Impor a condição de tangente horizontal: y'=0. Assim precisamos resolver a equação quadrática
3x^{2}+4x-4=0.
Para resolver, usamos a fórmula quadrática. Numa equação ax^{2}+bx+c=0, as raízes são
x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a},
onde a=3, b=4, c=-4 neste caso.

Passo 6

Calcular o discriminante e as raízes:
\Delta = b^{2}-4ac = 4^{2}-4\cdot 3\cdot(-4) = 16 + 48 = 64.
\sqrt{\Delta} = 8.
x = \frac{-4 \pm 8}{2\cdot 3} = \frac{-4 \pm 8}{6}.
Portanto as duas soluções são
x = \frac{-4+8}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}
e
x = \frac{-4-8}{6} = \frac{-12}{6} = -2.

Passo 7

Verificação rápida (substituição na derivada) para garantir que realmente anulam y':
  • Para x=\tfrac{2}{3}:
y'( \tfrac{2}{3} ) = 3\left(\tfrac{2}{3}\right)^{2} + 4\left(\tfrac{2}{3}\right) -4 = 3\cdot \tfrac{4}{9} + \tfrac{8}{3} -4 = \tfrac{4}{3} + \tfrac{8}{3} -4 = \tfrac{12}{3} -4 =4-4=0.
  • Para x=-2:
y'(-2)=3(-2)^{2}+4(-2)-4 = 3\cdot 4 -8 -4 =12-12=0.
As verificações confirmam que esses x tornam a tangente horizontal.

Resposta

x=-2
x=\tfrac{2}{3}

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