Determine as coordenadas-
de todos os pontos do gráfico de
em que a tangente é
horizontal;
horizontal;
Passo 1
O enunciado pede: determinar as coordenadas-
(ou seja, os valores de
) de todos os pontos do gráfico da função
em que a tangente ao gráfico é horizontal.
Informações dadas:
- A função é
.
Passo 2
Entendendo o que significa “tangente horizontal”: a reta tangente ao gráfico em um ponto tem inclinação (coeficiente angular) igual à derivada da função naquele ponto. Uma tangente é horizontal quando sua inclinação é zero. Portanto, precisamos:
- calcular a derivada
da função ; - resolver a equação
para encontrar os valores de onde a inclinação é zero.
Passo 3
Revisão rápida e didática das regras de derivação que usaremos:
- Regra do polinômio / potência (power rule): a derivada de
é . Exemplo: a derivada de é . - Regra da constante multiplicativa: a derivada de
é . - Regra da soma: a derivada da soma de funções é a soma das derivadas.
- A derivada de uma constante é zero.
Aplicando isso a cada termo:
- derivada de
é ; - derivada de
é ; - derivada de
é ; - derivada de
é .
Passo 4
Calcular a derivada
da função:
Passo 5
Impor a condição de tangente horizontal:
. Assim precisamos resolver a equação quadrática
Para resolver, usamos a fórmula quadrática. Numa equação
, as raízes são
onde
,
,
neste caso.
Passo 6
Calcular o discriminante e as raízes:
Portanto as duas soluções são
e
Passo 7
Verificação rápida (substituição na derivada) para garantir que realmente anulam
:
- Para
:
- Para
:
As verificações confirmam que esses
tornam a tangente horizontal.