1. Determine todos os valores de \lambda \in \mathbb{C} para os quais \operatorname{det}\left(A-\lambda I_{3}\right)=0, em que
A=\left(\begin{array}{ccc} 2 & 2 & 3 \\\\ 0 & 2 & 1 \\\\ 0 & -2 & 1 \end{array}\right)

Passo 1

O enunciado pede: determinar todos os valores de \lambda\in\mathbb{C} tais que
\det\bigl(A-\lambda I_{3}\bigr)=0,
onde foi dada a matriz
A=\begin{pmatrix} 2 & 2 & 3\\[4pt] 0 & 2 & 1\\[4pt] 0 & -2 & 1 \end{pmatrix}.
Informações relevantes fornecidas:
  • A matriz A é 3\times3.
  • Precisa-se encontrar os valores de \lambda (no corpo dos números complexos) que anulam o determinante de A-\lambda I_{3}, ou seja, as raízes do polinômio característico de A.]

Passo 2

Estratégia de cálculo (explicação didática): para obter as \lambda procuradas calculamos o polinômio característico
p(\lambda)=\det\bigl(A-\lambda I_3\bigr).
Uma forma prática para calcular o determinante é montar a matriz A-\lambda I_3 explicitamente e usar expansão por uma linha ou coluna conveniente. Aqui a primeira coluna tem entradas (2-\lambda,0,0)^T, ou seja, há zeros nas duas últimas posições da primeira coluna — isso facilita muito a expansão pela primeira coluna, porque só o primeiro cofator contribui. Vou usar exatamente isso.

Passo 3

Escrevendo a matriz A-\lambda I_3:
A-\lambda I_3=\begin{pmatrix} 2-\lambda & 2 & 3\\[4pt] 0 & 2-\lambda & 1\\[4pt] 0 & -2 & 1-\lambda \end{pmatrix}.]

Passo 4

Cálculo do determinante por expansão na primeira coluna (lição rápida sobre cofatores): como as entradas abaixo de (2-\lambda) na primeira coluna são zeros, o determinante reduz-se a
\det\bigl(A-\lambda I_3\bigr)=(2-\lambda)\cdot \det\begin{pmatrix} 2-\lambda & 1\\[4pt] -2 & 1-\lambda \end{pmatrix}.
Agora calculamos o determinante 2\times2 usando a regra \det\begin{pmatrix}a & b\\\ c & d\end{pmatrix}=ad-bc:
\det\begin{pmatrix} 2-\lambda & 1\\[4pt] -2 & 1-\lambda \end{pmatrix}=(2-\lambda)(1-\lambda)-1\cdot(-2).
Faço as contas com calma:
(2-\lambda)(1-\lambda)=\lambda^{2}-3\lambda+2,
e somando 2 (pois subtrair -2 é somar 2) resulta
\lambda^{2}-3\lambda+2+2=\lambda^{2}-3\lambda+4.
Portanto o polinômio característico é
p(\lambda)=\det\bigl(A-\lambda I_3\bigr)=(2-\lambda)\bigl(\lambda^{2}-3\lambda+4\bigr).]

Passo 5

Agora resolvemos p(\lambda)=0. Há dois fatores:
  • O primeiro fator dá a raiz imediata \lambda=2.
  • O segundo fator é a equação quadrática
\lambda^{2}-3\lambda+4=0.
Para resolver a quadrática uso a fórmula de Bhaskara (fórmula quadrática): se a\lambda^{2}+b\lambda+c=0 então
\lambda=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.
Aqui a=1, b=-3 e c=4. O discriminante é
\Delta=b^{2}-4ac = (-3)^{2}-4\cdot1\cdot4 = 9-16 = -7.
Como \Delta<0, as raízes são complexas conjugadas. Aplicando a fórmula:
\lambda=\frac{3\pm\sqrt{-7}}{2}=\frac{3\pm i\sqrt{7}}{2}.

Passo 6

Conclusão e interpretação: os valores de \lambda\in\mathbb{C} que anulam \det(A-\lambda I_3) são exatamente as três raízes encontradas — uma real e duas complexas conjugadas. A raiz \lambda=2 é simples (multiplicidade 1) e as outras duas são distintas entre si.

Resposta

\lambda=2
\lambda=\dfrac{3+i\sqrt{7}}{2}
\lambda=\dfrac{3-i\sqrt{7}}{2}

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