1. Determine o valor k \in \mathbb{R} a fim de que a matriz
A=\left(\begin{array}{ccc} k^{2}+1 & 2 & 3 \\\ k & 2 & 1 \\\\ 2 & -2 & 1 \end{array}\right)
possua inversa (isto é, determinante diferente de zero).

Passo 1

O enunciado pede determinar os valores de k\in\mathbb{R} para os quais a matriz
A=\begin{pmatrix} k^{2}+1 & 2 & 3 \\\ k & 2 & 1 \\\\ 2 & -2 & 1 \end{pmatrix}
possui inversa. As informações dadas são exatamente os elementos da matriz. A pergunta é: para quais k o determinante de A é diferente de zero?

Passo 2

Conceito importante (rápido e prático): uma matriz quadrada tem inversa se, e somente se, seu determinante for diferente de zero. Ou seja, devemos calcular \det(A) como função de k e exigir que esse valor não seja zero.

Passo 3

Vou calcular \det(A) expandindo pela primeira linha (fórmula de Laplace para 3\times3). A expansão pela primeira linha diz:
\det(A)=(k^{2}+1)\cdot M_{11}-2\cdot M_{12}+3\cdot M_{13},
onde M_{1j} é o determinante do menor complementar obtido eliminando a linha 1 e a coluna j.

Passo 4

Calcular os menores M_{11},M_{12},M_{13}.
  • Para M_{11} (eliminando linha 1 e coluna 1) fica a matriz \begin{pmatrix}2 & 1\\\\ -2 & 1\end{pmatrix}. Então
M_{11}=\det\begin{pmatrix}2 & 1\\\\ -2 & 1\end{pmatrix}=2\cdot1-1\cdot(-2)=2+2=4.
  • Para M_{12} (eliminando linha 1 e coluna 2) fica \begin{pmatrix}k & 1\\\\ 2 & 1\end{pmatrix}. Então
M_{12}=\det\begin{pmatrix}k & 1\\\\ 2 & 1\end{pmatrix}=k\cdot1-1\cdot2=k-2.
  • Para M_{13} (eliminando linha 1 e coluna 3) fica \begin{pmatrix}k & 2\\\\ 2 & -2\end{pmatrix}. Então
M_{13}=\det\begin{pmatrix}k & 2\\\\ 2 & -2\end{pmatrix}=k\cdot(-2)-2\cdot2=-2k-4=-2(k+2).

Passo 5

Substituir os menores na expressão da expansão:
\det(A)=(k^{2}+1)\cdot4-2\cdot(k-2)+3\cdot\bigl(-2(k+2)\bigr).
Agora simplificar passo a passo:
\det(A)=4(k^{2}+1)-2k+4-6(k+2).
Continuando:
\det(A)=4k^{2}+4-2k+4-6k-12.
Juntando termos semelhantes:
\det(A)=4k^{2}-8k+(4+4-12)=4k^{2}-8k-4.
Fatorando 4:
\det(A)=4\bigl(k^{2}-2k-1\bigr).

Passo 6

Agora encontramos os valores de k que anulam o determinante, resolvendo
k^{2}-2k-1=0.
Usar a fórmula quadrática. Para uma equação ak^{2}+bk+c=0 as raízes são
k=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.
Aqui a=1, b=-2, c=-1. O discriminante é
\Delta=b^{2}-4ac=(-2)^{2}-4\cdot1\cdot(-1)=4+4=8.
Portanto as raízes são
k=\frac{2\pm\sqrt{8}}{2}=\frac{2\pm 2\sqrt{2}}{2}=1\pm\sqrt{2}.

Passo 7

Conclusão lógica: \det(A)=0 exatamente para k=1\pm\sqrt{2}. Como a matriz tem inversa quando e somente quando \det(A)\neq0, a matriz A é invertível para todos os k\in\mathbb{R} exceto esses dois valores.

Resposta

k\in\mathbb{R}\setminus\{\,1+\sqrt{2},\;1-\sqrt{2}\,\}

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