1. Resolva a equação:
\operatorname{det}\left(\begin{array}{ccc} 1 & \cos (x) & 0 \\\ \operatorname{sen}(x) & 0 & 1 \\\ \operatorname{sen}(x) & 0 & -1 \end{array}\right)=\frac{1}{2}
com 0<x<\pi.

Passo 1

O enunciado pede que se resolva a equação
\det\begin{pmatrix} 1 & \cos(x) & 0 \\\ \operatorname{sen}(x) & 0 & 1 \\\ \operatorname{sen}(x) & 0 & -1 \end{pmatrix}=\tfrac{1}{2}
no intervalo 0<x<\pi.
Informações dadas:
  • A matriz é 3\times3 com entradas envolvendo \cos(x) e \operatorname{sen}(x).
  • O domínio onde buscar soluções é 0<x<\pi.
  • O objetivo é encontrar todos os x nesse intervalo que satisfazem a igualdade.

Passo 2

Primeiro vamos calcular a determinante da matriz como função de x. Lembra que o determinante de uma matriz 3\times3 pode ser calculado expandindo por uma linha ou coluna (regra de Laplace). Vou expandir pela primeira linha, pois há um zero ali e isso simplifica.
Seja
A=\begin{pmatrix} 1 & \cos(x) & 0 \\\ \operatorname{sen}(x) & 0 & 1 \\\ \operatorname{sen}(x) & 0 & -1 \end{pmatrix}.
A expansão pela primeira linha dá
\det A = 1\cdot M_{11} - \cos(x)\cdot M_{12} + 0\cdot M_{13},
onde M_{1j} é o determinante do menor correspondente (o sinal já está incorporado na fórmula de cofatores com o fator (-1)^{1+j}, por isso o sinal de subtração no segundo termo).

Passo 3

Calculemos os menores:
Menor associado ao elemento a_{11}=1:
M_{11}=\det\begin{pmatrix} 0 & 1 \\\\ 0 & -1 \end{pmatrix}=0\cdot(-1)-1\cdot0=0.
Menor associado ao elemento a_{12}=\cos(x) (note o sinal negativo já na expansão):
M_{12}=\det\begin{pmatrix} \operatorname{sen}(x) & 1 \\\ \operatorname{sen}(x) & -1 \end{pmatrix} =\operatorname{sen}(x)\cdot(-1)-1\cdot\operatorname{sen}(x)=-2\operatorname{sen}(x).
Substituindo em \det A:
\det A = 1\cdot 0 - \cos(x)\cdot\bigl(-2\operatorname{sen}(x)\bigr) + 0 = 2\cos(x)\operatorname{sen}(x).

Passo 4

Agora use uma identidade trigonométrica para simplificar 2\cos(x)\operatorname{sen}(x). A identidade conhecida é
\sin(2x)=2\sin(x)\cos(x).
Logo,
\det A = 2\cos(x)\operatorname{sen}(x)=\sin(2x).
Portanto a equação dada se reduz a
\sin(2x)=\tfrac{1}{2}.

Passo 5

Resolver \sin(2x)=\tfrac{1}{2}. Primeiro anota a solução geral da equação \sin\theta=\tfrac{1}{2}:
\theta = \frac{\pi}{6}+2k\pi \quad\text{ou}\quad \theta=\frac{5\pi}{6}+2k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}.
Aqui \theta=2x. Então
2x=\frac{\pi}{6}+2k\pi \quad\text{ou}\quad 2x=\frac{5\pi}{6}+2k\pi.
Dividindo por 2:
x=\frac{\pi}{12}+k\pi \quad\text{ou}\quad x=\frac{5\pi}{12}+k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}.

Passo 6

Agora impomos a restrição do enunciado 0<x<\pi. Para verificar quais k são permitidos, note que x deve ficar estritamente entre 0 e \pi.
  • Para a família x=\dfrac{\pi}{12}+k\pi:
    • Se k=0, x=\dfrac{\pi}{12}\in(0,\pi).
    • Se k=1, x=\dfrac{\pi}{12}+\pi>\pi (fora do intervalo).
    • Se k=-1, x=\dfrac{\pi}{12}-\pi<0 (fora).
      Portanto, a única solução dessa família no intervalo é x=\dfrac{\pi}{12}.
  • Para a família x=\dfrac{5\pi}{12}+k\pi:
    • Se k=0, x=\dfrac{5\pi}{12}\in(0,\pi).
    • Se k=1, x=\dfrac{5\pi}{12}+\pi>\pi (fora).
    • Se k=-1, x=\dfrac{5\pi}{12}-\pi<0 (fora).
      Portanto, a única solução dessa família no intervalo é x=\dfrac{5\pi}{12}.

Passo 7

Concluímos que as soluções de
\det\begin{pmatrix} 1 & \cos(x) & 0 \\\ \operatorname{sen}(x) & 0 & 1 \\\ \operatorname{sen}(x) & 0 & -1 \end{pmatrix}=\tfrac{1}{2}
no intervalo 0<x<\pi são exatamente
x=\frac{\pi}{12}\quad\text{e}\quad x=\frac{5\pi}{12}.

Resposta

\displaystyle x=\frac{\pi}{12}
\displaystyle x=\frac{5\pi}{12}

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