Resolva os sistemas lineares abaixo utilizando o método de Gauss-Jordan.
\left\{\begin{aligned} x_{1}-2 x_{2}+x_{3}+x_{4} & =0 \\\\ 2 x_{1}+x_{2}-x_{3}+3 x_{4} & =0 \\\ x_{1}+3 x_{2}-2 x_{3}+2 x_{4} & =0 \\\\ -x_{1}+x_{2}+x_{3}-x_{4} & =0\end{aligned}\right.

Passo 1

O enunciado dá o seguinte sistema linear homogêneo (peguei todas as equações do enunciado) e pede a solução usando o método de Gauss-Jordan:
\left\{\begin{aligned} x_{1}-2x_{2}+x_{3}+x_{4}&=0\\[4pt] 2x_{1}+x_{2}-x_{3}+3x_{4}&=0\\[4pt] x_{1}+3x_{2}-2x_{3}+2x_{4}&=0\\[4pt] -x_{1}+x_{2}+x_{3}-x_{4}&=0 \end{aligned}\right.
Informações relevantes:
  • São quatro equações e quatro incógnitas \,x_1,x_2,x_3,x_4.
  • O sistema é homogêneo (todos os termos à direita são zero).
  • Vou aplicar Gauss-Jordan para obter a forma reduzida por linhas (RREF) e assim escrever cada variável em função das variáveis livres.]

Passo 2

Breve explicação do método (para você entender antes de ver os cálculos):
  • Representa-se o sistema pela matriz aumentada e aplica-se operações elementares nas linhas:
    1. troca de duas linhas;
    2. multiplicar uma linha por um escalar não nulo;
    3. somar a uma linha um múltiplo de outra linha.
  • O objetivo do Gauss-Jordan é obter a forma reduzida por linhas (RREF): pivôs iguais a 1, cada pivô é o único elemento não nulo em sua coluna, e pivôs aparecem numa coluna mais à direita conforme se desce pelas linhas.
  • Depois da RREF, lê-se cada linha como uma equação simples do tipo \,x_i + (\text{coef.\\ de variáveis livres}) = 0á, e expressa-se as variáveis básicas em função das livres.

Passo 3

Matriz aumentada inicial (coluna final são os zeros do lado direito das equações):
\left[\begin{array}{cccc|c} 1 & -2 & 1 & 1 & 0\\[4pt] 2 & 1 & -1 & 3 & 0\\[4pt] 1 & 3 & -2 & 2 & 0\\[4pt] -1 & 1 & 1 & -1 & 0 \end{array}\right]
Denotarei as linhas por R_1,R_2,R_3,R_4.]

Passo 4

Usar R_1 como pivô na coluna 1 (já é 1). Eliminar as entradas abaixo na coluna 1:
  • R_2 \leftarrow R_2 - 2R_1.
  • R_3 \leftarrow R_3 - R_1.
  • R_4 \leftarrow R_4 + R_1.
Cálculos linha a linha:
Para R_2:
R_2 - 2R_1 = [\,2-2\cdot1,\; 1-2(-2),\; -1-2\cdot1,\; 3-2\cdot1\;|\;0-2\cdot0\,] = [\,0,\;5,\;-3,\;1\;|\;0\,].
Para R_3:
R_3 - R_1 = [\,1-1,\;3-(-2),\;-2-1,\;2-1\;|\;0-0\,] = [\,0,\;5,\;-3,\;1\;|\;0\,].
Para R_4:
R_4 + R_1 = [\,-1+1,\;1+(-2),\;1+1,\;-1+1\;|\;0+0\,] = [\,0,\;-1,\;2,\;0\;|\;0\,].
Matriz após essas operações:
\left[\begin{array}{cccc|c} 1 & -2 & 1 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 5 & -3 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 5 & -3 & 1 & 0\\[4pt] 0 & -1 & 2 & 0 & 0 \end{array}\right]]

Passo 5

Agora pivot na coluna 2. Escolho R_2 (entrada 5). Faço:
  • Primeiro normalizar: R_2 \leftarrow \dfrac{1}{5}R_2.
  • Depois eliminar as entradas acima e abaixo na coluna 2 usando o novo R_2.
Normalizando R_2:
R_2 = [\,0,\;1,\;-3/5,\;1/5\;|\;0\,].
Eliminar nas outras linhas:
  • R_1 \leftarrow R_1 + 2R_2 (para zerar -2 em R_1).
  • R_3 \leftarrow R_3 - 5R_2 (para zerar 5 em R_3).
  • R_4 \leftarrow R_4 + R_2 (para zerar -1 em R_4).
Cálculos:
Para R_1:
R_1 + 2R_2 = [\,1,\; -2+2\cdot1,\; 1+2(-3/5),\; 1+2(1/5)\;|\;0\,] = [\,1,\;0,\; -1/5,\;7/5\;|\;0\,].
Para R_3:
R_3 -5R_2 = [\,0,\;5-5,\;-3-5(-3/5),\;1-5(1/5)\;|\;0\,] = [\,0,\;0,\;0,\;0\;|\;0\,].
(Obtivemos uma linha nula — não é surpresa num sistema homogêneo com dependência linear entre equações.)
Para R_4:
R_4 + R_2 = [\,0,\;-1+1,\;2+(-3/5),\;0+1/5\;|\;0\,] = [\,0,\;0,\;7/5,\;1/5\;|\;0\,].
Matriz agora:
\left[\begin{array}{cccc|c} 1 & 0 & -\tfrac{1}{5} & \tfrac{7}{5} & 0\\[6pt] 0 & 1 & -\tfrac{3}{5} & \tfrac{1}{5} & 0\\[6pt] 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\[6pt] 0 & 0 & \tfrac{7}{5} & \tfrac{1}{5} & 0 \end{array}\right]]

Passo 6

Precisamos de um pivô na coluna 3. A linha útil é a atual R_4 (com \tfrac{7}{5} em coluna 3). Primeiro troco R_3 e R_4 para subir esse pivô:
  • R_3 \leftrightarrow R_4.
Depois normalizo R_3 dividindo por \tfrac{7}{5} (ou multiplicando por \tfrac{5}{7}):
R_3 = \frac{5}{7} \cdot [\,0,\;0,\;\tfrac{7}{5},\;\tfrac{1}{5}\;|\;0\,] = [\,0,\;0,\;1,\;\tfrac{1}{7}\;|\;0\,].
Matriz fica:
\left[\begin{array}{cccc|c} 1 & 0 & -\tfrac{1}{5} & \tfrac{7}{5} & 0\\[6pt] 0 & 1 & -\tfrac{3}{5} & \tfrac{1}{5} & 0\\[6pt] 0 & 0 & 1 & \tfrac{1}{7} & 0\\[6pt] 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right]]

Passo 7

Agora elimino as entradas não nulas na coluna 3 acima do pivô R_3:
  • R_1 \leftarrow R_1 + \tfrac{1}{5}R_3 (porque R_1 tem -\tfrac{1}{5} na coluna 3).
  • R_2 \leftarrow R_2 + \tfrac{3}{5}R_3 (porque R_2 tem -\tfrac{3}{5} na coluna 3).
Cálculos:
Para R_1:
R_1 + \tfrac{1}{5}R_3 = \big[\,1,\;0,\;0,\;\tfrac{7}{5} + \tfrac{1}{5}\cdot\tfrac{1}{7}\;|\;0\,\big] = \big[\,1,\;0,\;0,\;\tfrac{7}{5} + \tfrac{1}{35}\;|\;0\,\big].
Calculemos \tfrac{7}{5} + \tfrac{1}{35} = \tfrac{49}{35} + \tfrac{1}{35} = \tfrac{50}{35} = \tfrac{10}{7}.
Logo R_1 = [\,1,\;0,\;0,\;\tfrac{10}{7}\;|\;0\,].
Para R_2:
R_2 + \tfrac{3}{5}R_3 = \big[\,0,\;1,\;0,\;\tfrac{1}{5} + \tfrac{3}{5}\cdot\tfrac{1}{7}\;|\;0\,\big] = \big[\,0,\;1,\;0,\;\tfrac{1}{5} + \tfrac{3}{35}\;|\;0\,\big].
Calculemos \tfrac{1}{5} + \tfrac{3}{35} = \tfrac{7}{35} + \tfrac{3}{35} = \tfrac{10}{35} = \tfrac{2}{7}.
Logo R_2 = [\,0,\;1,\;0,\;\tfrac{2}{7}\;|\;0\,].
Matriz em forma reduzida por linhas (RREF) fica:
\left[\begin{array}{cccc|c} 1 & 0 & 0 & \tfrac{10}{7} & 0\\[6pt] 0 & 1 & 0 & \tfrac{2}{7} & 0\\[6pt] 0 & 0 & 1 & \tfrac{1}{7} & 0\\[6pt] 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right]]

Passo 8

Interpretando a RREF como equações:
\begin{aligned} x_1 + \tfrac{10}{7}x_4 &= 0,\\[4pt] x_2 + \tfrac{2}{7}x_4 &= 0,\\[4pt] x_3 + \tfrac{1}{7}x_4 &= 0. \end{aligned}
A coluna 4 (variável x_4) não tem pivô: é variável livre. Ponho x_4 = t, com t\in\mathbb{R}. Então:
\begin{aligned} x_1 &= -\tfrac{10}{7}\,t,\\[4pt] x_2 &= -\tfrac{2}{7}\,t,\\[4pt] x_3 &= -\tfrac{1}{7}\,t,\\[4pt] x_4 &= t. \end{aligned}
Para eliminar frações e apresentar de forma mais limpa, escolha um parâmetro s tal que t = 7s. Então x_4 = 7s e:
\begin{aligned} x_1 &= -10s,\\[4pt] x_2 &= -2s,\\[4pt] x_3 &= -1s,\\[4pt] x_4 &= 7s. \end{aligned}
Portanto o conjunto de soluções é uma reta (um parâmetro) através da origem:
(x_1,x_2,x_3,x_4) = s\,(-10,\,-2,\,-1,\;7),\qquad s\in\mathbb{R}.]

Passo 9

Resumo prático e interpretação (para a prova):
  • O sistema homogêneo tem infinitas soluções (há uma variável livre).
  • A solução geral pode ser dada com um parâmetro s como acima.
  • Observe: se você preferir, pode deixar x_4 como parâmetro t e escrever diretamente (x_1,x_2,x_3,x_4) = t\left(-\tfrac{10}{7},-\tfrac{2}{7},-\tfrac{1}{7},1\right). Eu escolhi s para evitar frações na resposta final.

Resposta

(x_1,x_2,x_3,x_4)=s(-10,-2,-1,7),\\ s\in\mathbb{R}

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