E3 Determine todos os valores de
para os quais os vetores
e
são ortogonais.
Passo 1
O enunciado pede: determinar todos os valores de
para os quais os vetores
e
são ortogonais.
Informações dadas: os componentes do primeiro vetor são ,
e
; os componentes do segundo vetor são
,
e
.
O que se quer encontrar: todos os valores de (reais) que satisfazem a condição de ortogonalidade entre esses dois vetores.
Informações dadas: os componentes do primeiro vetor são
O que se quer encontrar: todos os valores de
Passo 2
Conceito importante (aula rápida): dois vetores em
são ortogonais quando a projeção de um sobre o outro é nula — em termos práticos, usamos o produto escalar (também chamado de produto interno) para testar isso.
Definição do produto escalar: dados os vetores e
, o produto escalar é
Definição do produto escalar: dados os vetores
Propriedade-chave: dois vetores são ortogonais se, e somente se, o produto escalar entre eles for igual a zero. Isso transforma o problema geométrico (ortogonalidade) numa equação algébrica (igualdade a zero).
Passo 3
Aplicando a definição aos vetores do enunciado: calculemos o produto escalar entre
e
. Usando a fórmula,
Agora desenvolvemos passo a passo os termos:
Somando tudo:
Passo 4
Condição de ortogonalidade (transformada em equação): devemos ter o produto escalar igual a zero. Assim precisamos resolver a equação quadrática
Para resolver uma equação quadrática geral
, usamos a fórmula de Bhaskara (fórmula quadrática):
onde
,
e
são os coeficientes da equação. Aqui temos
,
e
.
Passo 5
Calculando o discriminante
(que é
) e interpretando: o discriminante indica quantas raízes reais existem e aparece dentro da raiz quadrada da fórmula.
Fazendo as contas:
logo
Como
, teremos duas raízes reais distintas. Aplicando a fórmula:
Podemos, se quiser, checar rapidamente as aproximações para intuir onde estão os valores:
Esses valores aproximados servem só para conferir a plausibilidade; as soluções exatas são as frações com
.
Passo 6
Conclusão: os valores de
que tornam os vetores ortogonais são exatamente as raízes da quadrática encontrada, ou seja,