E3 Determine todos os valores de x para os quais os vetores (1,2,3) e \left(x, x^{2}, 2 x-1\right) são ortogonais.

Passo 1

O enunciado pede: determinar todos os valores de x para os quais os vetores (1,2,3) e \left(x, x^{2}, 2 x-1\right) são ortogonais.
Informações dadas: os componentes do primeiro vetor são 1, 2 e 3; os componentes do segundo vetor são x, x^{2} e 2x-1.
O que se quer encontrar: todos os valores de x (reais) que satisfazem a condição de ortogonalidade entre esses dois vetores.

Passo 2

Conceito importante (aula rápida): dois vetores em \mathbb{R}^{3} são ortogonais quando a projeção de um sobre o outro é nula — em termos práticos, usamos o produto escalar (também chamado de produto interno) para testar isso.
Definição do produto escalar: dados os vetores (a_{1},a_{2},a_{3}) e (b_{1},b_{2},b_{3}), o produto escalar é
a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3}.
Propriedade-chave: dois vetores são ortogonais se, e somente se, o produto escalar entre eles for igual a zero. Isso transforma o problema geométrico (ortogonalidade) numa equação algébrica (igualdade a zero).

Passo 3

Aplicando a definição aos vetores do enunciado: calculemos o produto escalar entre (1,2,3) e \left(x, x^{2}, 2 x-1\right). Usando a fórmula,
(1,2,3)\cdot\left(x,x^{2},2x-1\right)=1\cdot x + 2\cdot x^{2} + 3\cdot(2x-1).
Agora desenvolvemos passo a passo os termos:
1\cdot x = x,
2\cdot x^{2} = 2x^{2},
3\cdot(2x-1)=6x-3.
Somando tudo:
x + 2x^{2} + 6x - 3 = 2x^{2} + 7x - 3.

Passo 4

Condição de ortogonalidade (transformada em equação): devemos ter o produto escalar igual a zero. Assim precisamos resolver a equação quadrática
2x^{2}+7x-3=0.
Para resolver uma equação quadrática geral \,ax^{2}+bx+c=0, usamos a fórmula de Bhaskara (fórmula quadrática):
x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a},
onde a, b e c são os coeficientes da equação. Aqui temos a=2, b=7 e c=-3.

Passo 5

Calculando o discriminante \Delta (que é b^{2}-4ac) e interpretando: o discriminante indica quantas raízes reais existem e aparece dentro da raiz quadrada da fórmula.
\Delta = b^{2}-4ac = 7^{2}-4\cdot 2\cdot(-3).
Fazendo as contas:
7^{2}=49,
-4\cdot 2\cdot(-3)= -8\cdot(-3)=24,
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\Delta = 49 + 24 = 73.
Como \Delta>0, teremos duas raízes reais distintas. Aplicando a fórmula:
x=\frac{-7\pm\sqrt{73}}{2\cdot 2}=\frac{-7\pm\sqrt{73}}{4}.
Podemos, se quiser, checar rapidamente as aproximações para intuir onde estão os valores:
\sqrt{73}\approx 8,544\quad\Rightarrow\quad x_{1}\approx\frac{-7+8,544}{4}\approx\frac{1,544}{4}\approx 0,386,
x_{2}\approx\frac{-7-8,544}{4}\approx\frac{-15,544}{4}\approx -3,886.
Esses valores aproximados servem só para conferir a plausibilidade; as soluções exatas são as frações com \sqrt{73}.

Passo 6

Conclusão: os valores de x que tornam os vetores ortogonais são exatamente as raízes da quadrática encontrada, ou seja,
x=\frac{-7+\sqrt{73}}{4}\quad\text{e}\quad x=\frac{-7-\sqrt{73}}{4}.

Resposta

\displaystyle x=\frac{-7+\sqrt{73}}{4}
\displaystyle x=\frac{-7-\sqrt{73}}{4}

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