E2 Decida se o triângulo com vértices
e
é agudo, obtuso ou reto.
Passo 1
O enunciado pede para decidir se o triângulo com vértices
,
e
é agudo, reto ou obtuso.
Informações dadas: as coordenadas dos três vértices são .
A pergunta é única: classificar o triângulo (agudo / reto / obtuso).
Informações dadas: as coordenadas dos três vértices são
A pergunta é única: classificar o triângulo (agudo / reto / obtuso).
Passo 2
Vou usar uma técnica simples e segura: calcular os comprimentos dos lados pelo plano cartesiano (fórmula da distância) e aplicar a condição baseada no Teorema de Pitágoras / Lei dos Cossenos para decidir o tipo pelo maior lado.
Explicando as fórmulas e o porquê (aulas rápidas):
- Fórmula da distância entre dois pontos
e :
Aqui eu vou trabalhar primeiro com os quadrados das distâncias (para evitar raízes desnecessárias), ou seja, com os valores
.
- Lei dos cossenos (forma generalizada do Teorema de Pitágoras):
onde
são os comprimentos dos lados e
é o ângulo oposto ao lado
. Dela segue um critério prático:
- Se
então o ângulo é agudo; - Se
então o ângulo é reto; - Se
então o ângulo é obtuso.
Portanto, para classificar o triângulo basta:
- calcular os quadrados dos comprimentos dos três lados;
- identificar o maior desses quadrados (lado maior);
- comparar esse maior quadrado com a soma dos outros dois quadrados e aplicar o critério acima.
Passo 3
Calcular
usando a fórmula da distância ao quadrado entre
e
:
Passo 4
Calcular
entre
e
:
Passo 5
Calcular
entre
e
:
Passo 6
Temos os quadrados dos lados:
O maior desses é
, portanto o maior lado é
. Aplicamos o critério comparando
com
:
Como
segue pelo critério da Lei dos Cossenos que o ângulo oposto a
(ou seja, o ângulo no vértice
) é obtuso, e portanto o triângulo é obtuso.
Passo 7
Se quiser uma verificação extra (opcional), podemos calcular o cosseno do ângulo em
pela forma da Lei dos Cossenos reorganizada:
Usando
e
:
Como
, o ângulo
é maior que
, confirmando que o triângulo é obtuso.
Resposta
Triângulo obtuso.