E2 Decida se o triângulo com vértices A=(0,1), B=(2,2) e C=(-3,5) é agudo, obtuso ou reto.

Passo 1

O enunciado pede para decidir se o triângulo com vértices A=(0,1), B=(2,2) e C=(-3,5) é agudo, reto ou obtuso.
Informações dadas: as coordenadas dos três vértices são \,A=(0,1)\,,\;B=(2,2)\,,\;C=(-3,5)\,.
A pergunta é única: classificar o triângulo (agudo / reto / obtuso).

Passo 2

Vou usar uma técnica simples e segura: calcular os comprimentos dos lados pelo plano cartesiano (fórmula da distância) e aplicar a condição baseada no Teorema de Pitágoras / Lei dos Cossenos para decidir o tipo pelo maior lado.
Explicando as fórmulas e o porquê (aulas rápidas):
  • Fórmula da distância entre dois pontos (x_1,y_1) e (x_2,y_2):
\text{dist} = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}.
Aqui eu vou trabalhar primeiro com os quadrados das distâncias (para evitar raízes desnecessárias), ou seja, com os valores \text{dist}^2 = (x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2.
  • Lei dos cossenos (forma generalizada do Teorema de Pitágoras):
c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos\text{(C)},
onde a,b,c são os comprimentos dos lados e C é o ângulo oposto ao lado c. Dela segue um critério prático:
  • Se c^2 < a^2 + b^2 então o ângulo C é agudo;
  • Se c^2 = a^2 + b^2 então o ângulo C é reto;
  • Se c^2 > a^2 + b^2 então o ângulo C é obtuso.
Portanto, para classificar o triângulo basta:
  1. calcular os quadrados dos comprimentos dos três lados;
  2. identificar o maior desses quadrados (lado maior);
  3. comparar esse maior quadrado com a soma dos outros dois quadrados e aplicar o critério acima.

Passo 3

Calcular \,AB^2 usando a fórmula da distância ao quadrado entre A=(0,1) e B=(2,2):
AB^2 = (2-0)^2 + (2-1)^2 = 2^2 + 1^2 = 4 + 1 = 5.

Passo 4

Calcular \,AC^2 entre A=(0,1) e C=(-3,5):
AC^2 = (-3-0)^2 + (5-1)^2 = (-3)^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25.

Passo 5

Calcular \,BC^2 entre B=(2,2) e C=(-3,5):
BC^2 = (-3-2)^2 + (5-2)^2 = (-5)^2 + 3^2 = 25 + 9 = 34.

Passo 6

Temos os quadrados dos lados:
AB^2 = 5,\qquad AC^2 = 25,\qquad BC^2 = 34.
O maior desses é \,BC^2 = 34, portanto o maior lado é BC. Aplicamos o critério comparando BC^2 com AB^2 + AC^2:
AB^2 + AC^2 = 5 + 25 = 30.
Como
BC^2 = 34 > 30 = AB^2 + AC^2,
segue pelo critério da Lei dos Cossenos que o ângulo oposto a BC (ou seja, o ângulo no vértice A) é obtuso, e portanto o triângulo é obtuso.

Passo 7

Se quiser uma verificação extra (opcional), podemos calcular o cosseno do ângulo em A pela forma da Lei dos Cossenos reorganizada:
\cos(A) = \frac{AB^2 + AC^2 - BC^2}{2\cdot AB \cdot AC}.
Usando AB=\sqrt{5} e AC=\sqrt{25}=5:
\cos(A)=\frac{5 + 25 - 34}{2\cdot \sqrt{5}\cdot 5}=\frac{-4}{10\sqrt{5}}<0.
Como \cos(A)<0, o ângulo A é maior que 90^\circ, confirmando que o triângulo é obtuso.

Resposta

Triângulo obtuso.

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