E1 Para quais valores de x os vetores (1,2, x) e (2,4, x+1) são paralelos?

Passo 1

O enunciado pede: para quais valores de x os vetores (1,2,x) e (2,4,x+1) são paralelos?\n
Informações dadas:
v_1 = (1,2,x)
v_2 = (2,4,x+1)

Passo 2

O que significa “vetores paralelos” (explicação didática): dois vetores não nulos são paralelos quando um é múltiplo escalar do outro, isto é, existe um número real k tal que
v_2 = k\,v_1.
Aqui vamos usar essa definição para encontrar x. Observação importante: se algum vetor fosse o vetor nulo, qualquer vetor seria paralelo a ele, mas neste problema v_1 tem primeira componente 1, então v_1 nunca é o vetor nulo para nenhum x. Portanto a definição acima vale sem problemas.

Passo 3

Escrevemos a igualdade de múltiplo escalar com uma constante k:
(2,4,x+1) = k(1,2,x).
Isso gera um sistema obtido comparando componente a componente:
2 = k\cdot 1,
4 = k\cdot 2,
x+1 = k\cdot x.

Passo 4

Da primeira equação obtemos imediatamente
k = 2.

Passo 5

Verificamos a segunda equação com k=2:
4 = 2\cdot 2,
o que é verdade. Então k=2 é consistente com as duas primeiras componentes.

Passo 6

Agora usamos a terceira equação para determinar x. Substituindo k=2 em
x+1 = k\cdot x
temos
x+1 = 2x.
Resolvendo para x:
x+1 = 2x \implies 1 = 2x - x \implies 1 = x.

Passo 7

Checagem final: para x=1 os vetores ficam
v_1 = (1,2,1),\qquad v_2 = (2,4,2).
E de fato v_2 = 2\,v_1, logo são paralelos. Não há outro valor de x que satisfaça a relação, porque a condição nos conduziu a uma equação linear com solução única.

Resposta

x=1

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