Determine todos os valores de x para os quais a função dada não é contínua.
f(x)=3 x^{2}-6 x+9

Passo 1

O enunciado pede: determinar todos os valores de x para os quais a função
f(x)=3x^{2}-6x+9
não é contínua. Informações dadas:
  • A função é explicitamente f(x)=3x^{2}-6x+9.
  • Não há figuras nem restrições adicionais no enunciado.

Passo 2

O que significa “não ser contínua” num ponto? Vou lembrar a definição prática de continuidade num ponto a:
  • A função f é contínua em a se e somente se se cumprirem as três condições:
    1. \,f(a)\, está definido;
    2. \lim_{x\to a} f(x) existe;
    3. \displaystyle \lim_{x\to a} f(x)=f(a).
      Se uma dessas falha, então f NÃO é contínua em a. Nosso objetivo é achar todos os a (ou x) onde alguma condição falha.

Passo 3

Algumas regras e fatos que vamos usar (explicadinhos):
  • A função constante c é contínua em todo ponto; isto é, \lim_{x\to a} c = c.
  • A função identidade x\mapsto x é contínua em todo ponto; isto é, \lim_{x\to a} x = a.
  • Se g e h são contínuas em a, então g+h, g-h, g\cdot h e constantes vezes g também são contínuas em a.
  • Em particular, potências x\mapsto x^{2} (e, de modo geral, x\mapsto x^{n} com n inteiro não negativo) são contínuas em todo ponto.
    Esses fatos vêm das leis de limites (limite da soma é soma dos limites, limite do produto é produto dos limites) e do fato de que limites das funções básicas coincidem com seu valor no ponto.

Passo 4

Aplicando as regras ao nosso polinômio passo a passo:
  • x\mapsto x é contínua em todo a, portanto \lim_{x\to a} x = a.
  • Então \lim_{x\to a} x^{2} = (\lim_{x\to a} x)^{2} = a^{2} (por continuidade da potência).
  • Usando linearidade do limite (soma e multiplicação por constante):
\lim_{x\to a} \bigl(3x^{2}-6x+9\bigr) = 3\lim_{x\to a} x^{2} -6\lim_{x\to a} x + \lim_{x\to a} 9.
  • Substituindo os limites conhecidos:
3\lim_{x\to a} x^{2} -6\lim_{x\to a} x + \lim_{x\to a} 9 = 3a^{2} -6a + 9.
  • Esse valor é exatamente f(a), pois por definição f(a)=3a^{2}-6a+9.

Passo 5

Conseguimos provar que, para todo a\in\mathbb{R},
\lim_{x\to a} f(x)=f(a).
Além disso f(a) está definido para todo a (polinômios têm valor para qualquer número real). Logo todas as três condições de continuidade são satisfeitas em qualquer ponto real a. Portanto f é contínua em todo \mathbb{R} e não há pontos de descontinuidade.

Passo 6

Um exemplo numérico rápido só para consolidar: escolha a=2. Então f(2)=3\cdot2^{2}-6\cdot2+9=12-12+9=9. Pelo cálculo de limite,
\lim_{x\to 2} f(x)=3\cdot2^{2}-6\cdot2+9=9=f(2),
confirmando continuidade em 2. O mesmo raciocínio vale para qualquer a.

Resposta

\text{Não existe valor de }x\text{: a função é contínua para todo }x\in\mathbb{R}.ãçãéí

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