Determine todos os valores de x para os quais a função dada não é contínua.
Passo 1
O enunciado pede: determinar todos os valores de
para os quais a função
não é contínua. Informações dadas:
- A função é explicitamente
. - Não há figuras nem restrições adicionais no enunciado.
Passo 2
O que significa “não ser contínua” num ponto? Vou lembrar a definição prática de continuidade num ponto
:
- A função
é contínua em se e somente se se cumprirem as três condições: -
está definido; -
existe; -
.
Se uma dessas falha, entãoNÃO é contínua em . Nosso objetivo é achar todos os (ou ) onde alguma condição falha.
-
Passo 3
Algumas regras e fatos que vamos usar (explicadinhos):
- A função constante
é contínua em todo ponto; isto é, . - A função identidade
é contínua em todo ponto; isto é, . - Se
e são contínuas em , então , , e constantes vezes também são contínuas em . - Em particular, potências
(e, de modo geral, com inteiro não negativo) são contínuas em todo ponto.
Esses fatos vêm das leis de limites (limite da soma é soma dos limites, limite do produto é produto dos limites) e do fato de que limites das funções básicas coincidem com seu valor no ponto.
Passo 4
Aplicando as regras ao nosso polinômio passo a passo:
-
é contínua em todo , portanto . - Então
(por continuidade da potência). - Usando linearidade do limite (soma e multiplicação por constante):
- Substituindo os limites conhecidos:
- Esse valor é exatamente
, pois por definição .
Passo 5
Conseguimos provar que, para todo
,
Além disso
está definido para todo
(polinômios têm valor para qualquer número real). Logo todas as três condições de continuidade são satisfeitas em qualquer ponto real
. Portanto
é contínua em todo
e não há pontos de descontinuidade.
Passo 6
Um exemplo numérico rápido só para consolidar: escolha
. Então
. Pelo cálculo de limite,
confirmando continuidade em
. O mesmo raciocínio vale para qualquer
.