Verifique se a função dada é contínua para o valor especificado de x.
f(x)=\left\{\begin{array}{l}x^{2}+1, \text { para } x \leq 3 \\\\ 2 x+4, \text { para } x>3\end{array}\right. em x=3

Passo 1

O enunciado dá a função por partes
f(x)=\begin{cases} x^{2}+1, & \text{para } x\le 3,\\[4pt] 2x+4, & \text{para } x>3, \end{cases}
e pergunta se f é contínua em x=3.
Informações importantes fornecidas:
  • A definição de f para x\le 3 é \;x^{2}+1.
  • A definição de f para x>3 é \;2x+4.
  • O ponto onde se testa a continuidade é x=3.
O que precisamos verificar (lista clara das perguntas internas):
  • Está definida a imagem f(3)? (ou seja, f(3) existe?)
  • Existe o limite \lim_{x\to 3} f(x)? Em particular, existem e coincidem os limites laterais \lim_{x\to 3^-} f(x) e \lim_{x\to 3^+} f(x)?
  • Se os limites existirem e coincidirem, valem igual a f(3)? Se sim, f é contínua em x=3.]

Passo 2

Definição prática e intuitiva (aquelas que o professor gosta):
  • Dizemos que f é contínua em a se três coisas acontecem:
    1. f(a) está definida.
    2. O limite \lim_{x\to a} f(x) existe (isto é, os limites laterais à esquerda e à direita existem e são iguais).
    3. Esse limite é igual a f(a): \lim_{x\to a} f(x)=f(a).
Explicando limites laterais (bem mastigado):
  • \lim_{x\to 3^-} f(x) é o valor que f(x) vai tendendo quando x se aproxima de 3 por valores menores que 3.
  • \lim_{x\to 3^+} f(x) é o valor que f(x) vai tendendo quando x se aproxima de 3 por valores maiores que 3.
Para funções polinomiais e lineares vale uma coisa útil e prática: polinômios e funções lineares são contínuos em todo ponto, então o limite quando x\to a é obtido simplesmente substituindo x=a.

Passo 3

Calcular f(3) a partir da definição da função:
Como 3 satisfaz 3\le 3, usa-se o ramo \;x^{2}+1.
f(3)=3^{2}+1=9+1=10.

Passo 4

Calcular o limite à esquerda \lim_{x\to 3^-} f(x):
Para x<3 (aproximando 3 pela esquerda) a expressão é \;x^{2}+1. Como polinômios são contínuos, o limite é a substituição:
\lim_{x\to 3^-} f(x)=\lim_{x\to 3^-} (x^{2}+1)=3^{2}+1=10.

Passo 5

Calcular o limite à direita \lim_{x\to 3^+} f(x):
Para x>3 (aproximando 3 pela direita) a expressão é \;2x+4. Como funções lineares são contínuas, o limite é a substituição:
\lim_{x\to 3^+} f(x)=\lim_{x\to 3^+} (2x+4)=2\cdot 3+4=6+4=10.

Passo 6

Comparação e verificação das condições de continuidade:
  • Encontramos f(3)=10.
  • Encontramos \lim_{x\to 3^-} f(x)=10 e \lim_{x\to 3^+} f(x)=10.
    Portanto os limites laterais existem e coincidem, e o limite total \lim_{x\to 3} f(x) existe e vale 10. Além disso esse limite é igual a f(3). Assim, a condição de continuidade em x=3 está satisfeita.

Resposta

Contínua em x=3

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