(a) Determine o torque que pode ser aplicado a um eixo de seção cheia com diâmetro de 19 mm , sem exceder a tensão de cisalhamento admissivel do material do eixo de 70 MPa . (b) Resolva a parte a considerando que o eixo de seção cheia foi substituído por um eixo vazado com a mesma área de seção transversal e com um diâmetro interno igual à metade de seu próprio diâmetro externo.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • (a) Determinar o torque máximo que pode ser aplicado a um eixo maciço de diâmetro \,19\\ \text{mm}\, sem exceder a tensão de cisalhamento admissível \,70\\ \text{MPa}\,.
  • (b) Repetir o cálculo da parte (a) para um eixo vazado que tenha a mesma área de seção transversal do eixo maciço e cujo diâmetro interno seja a metade do diâmetro externo.
Informações fornecidas (dados do enunciado):
\begin{aligned} &\text{diâmetro do eixo maciço:}\quad d=19\\ \text{mm},\\\ &\text{tensão de cisalhamento admissível:}\quad \tau_{\text{adm}}=70\\ \text{MPa}=70\\ \text{N/mm}^2,\\\ &\text{no caso vazado:}\quad d_i=\tfrac{1}{2}d_o\\ \text{e}\\ A_{\text{vazado}}=A_{\text{maciço}}. \end{aligned}âçãíç

Passo 2

Princípio físico e fórmulas que vamos usar (aula rapidinha e prática):
  • Em um eixo circular submetido a torque T, a tensão de cisalhamento máxima (na superfície externa) é dada por
\tau_{\max}=\frac{T\,c}{J},
onde:
  • \tau_{\max} é a tensão de cisalhamento máxima (N/mm ^2),
  • T é o torque (N·mm),
  • c é o raio externo do eixo (mm),
  • J é o momento polar de inércia da seção (mm ^4).
  • Para um eixo maciço de diâmetro \,d\,, o momento polar de inércia é
J_{\text{maciço}}=\frac{\pi d^{4}}{32}.ç
  • Para um eixo vazado com diâmetro externo \,d_o e interno \,d_i,
J_{\text{vazado}}=\frac{\pi}{32}\,\bigl(d_o^{4}-d_i^{4}\bigr).
  • O ângulo c em cada caso é o raio externo:
c_{\text{maciço}}=\frac{d}{2},\qquad c_{\text{vazado}}=\frac{d_o}{2}.ç
No exame a ideia prática: isolar T na fórmula \tau_{\max}=\dfrac{T c}{J}, obtendo
T=\frac{\tau_{\max}\,J}{c},
e calcular J e c conforme a seção.

Passo 3

Resolução da parte (a) — eixo maciço:
  1. Escrevo a fórmula para o torque admissível usando \tau_{\max}=\tau_{\text{adm}}:
T_a=\frac{\tau_{\text{adm}}\,J_{\text{maciço}}}{c_{\text{maciço}}}.çç
  1. Substituo as expressões de J_{\text{maciço}}ç e c_{\text{maciço}}ç:
J_{\text{maciço}}=\frac{\pi d^{4}}{32},\qquad c_{\text{maciço}}=\frac{d}{2}.çç
  1. Posso simplificar antes de calcular numericamente:
T_a=\tau_{\text{adm}}\cdot\frac{\frac{\pi d^{4}}{32}}{\frac{d}{2}} =\tau_{\text{adm}}\cdot\frac{\pi d^{3}}{16}.
Observação didática: isso mostra que para eixo maciço T escala com d^{3} (útil em provas e estimativas rápidas).
  1. Agora substituo os valores numéricos ( \tau_{\text{adm}}=70\\ \text{N/mm}^2 e d=19\\ \text{mm}). Primeiro calculo d^{3}:
d^{3}=19^{3}=6859\\ \text{mm}^{3}.
Então
T_a=70\cdot\frac{\pi}{16}\cdot 6859\\ \text{N·mm}.
  1. Faço a conta (mantendo unidades N·mm e depois converto para N·m):
\frac{\pi}{16}\approx 0{,}19634954,
\frac{\pi}{16}\cdot 6859\approx 1346{,}73,
T_a\approx 70\cdot 1346{,}73 \approx 94\,271{,}1\\ \text{N·mm}.
Convertendo para N·m (dividindo por 1000):
T_a\approx 94{,}27\\ \text{N·m}.
Dica amiga: mantenha unidades em N/mm ^2 e mm para que T saia em N·mm, depois passe para N·m se preferir.

Passo 4

Resolução da parte (b) — eixo vazado com mesma área e d_i=\tfrac{1}{2}d_o:
  1. Primeiro encontro o diâmetro externo d_o do eixo vazado impondo igualdade de áreas:
A_{\text{maciço}}=A_{\text{vazado}}.ç
Escrevendo as áreas:
A_{\text{maciço}}=\frac{\pi d^{2}}{4},\qquad A_{\text{vazado}}=\frac{\pi}{4}\bigl(d_o^{2}-d_i^{2}\bigr).ç
Como d_i=\tfrac{1}{2}d_o,
d_i^{2}=\frac{1}{4}d_o^{2}\quad\Rightarrow\quad d_o^{2}-d_i^{2}=d_o^{2}-\frac{1}{4}d_o^{2}=\frac{3}{4}d_o^{2}.
  1. Igualando áreas:
\frac{\pi d^{2}}{4}=\frac{\pi}{4}\cdot\frac{3}{4}d_o^{2}.
Posso cancelar \tfrac{\pi}{4}:
d^{2}=\frac{3}{4}d_o^{2}\quad\Rightarrow\quad d_o^{2}=\frac{4}{3}d^{2}.
  1. Portanto
d_o=d\sqrt{\frac{4}{3}}=\frac{2d}{\sqrt{3}}.
Com d=19\\ \text{mm},
d_o=\frac{38}{\sqrt{3}}\approx 21{,}95\\ \text{mm}.
E o diâmetro interno
d_i=\frac{d_o}{2}\approx 10{,}98\\ \text{mm}.
  1. Agora calculo J_{\text{vazado}}. Em termos de d original podemos simplificar a expressão: usando d_o^{4}=\bigl(\tfrac{4}{3}d^{2}\bigr)^{2}=\tfrac{16}{9}d^{4} e d_i^{4}=\bigl(\tfrac{1}{2}d_o\bigr)^{4}=\tfrac{1}{16}d_o^{4}. Mais direto: para d_i=\tfrac{1}{2}d_o,
d_o^{4}-d_i^{4}=d_o^{4}\Bigl(1-\frac{1}{16}\Bigr)=\frac{15}{16}d_o^{4}.
Substituindo d_o^{4}=\dfrac{16}{9}d^{4},
d_o^{4}-d_i^{4}=\frac{15}{16}\cdot\frac{16}{9}d^{4}=\frac{15}{9}d^{4}=\frac{5}{3}d^{4}.
Assim
J_{\text{vazado}}=\frac{\pi}{32}\bigl(d_o^{4}-d_i^{4}\bigr) =\frac{\pi}{32}\cdot\frac{5}{3}d^{4}=\frac{5\pi}{96}\,d^{4}.
Observação útil: para este caso com mesmas áreas e d_i=\tfrac{1}{2}d_o, encontramos
J_{\text{maciço}}=\frac{\pi}{32}d^{4}=\frac{3\pi}{96}d^{4},\qquad J_{\text{vazado}}=\frac{5\pi}{96}d^{4},ç
logo J_{\text{vazado}}/J_{\text{maciço}}=5/3ç (o vazado tem momento polar maior).
  1. O raio externo do eixo vazado, em termos de d, é
c_{\text{vazado}}=\frac{d_o}{2}=\frac{1}{2}\cdot\frac{2d}{\sqrt{3}}=\frac{d}{\sqrt{3}}.
  1. Agora escrevo o torque admissível para o vazado:
T_b=\frac{\tau_{\text{adm}}\,J_{\text{vazado}}}{c_{\text{vazado}}} =\tau_{\text{adm}}\cdot\frac{\frac{5\pi}{96}d^{4}}{\frac{d}{\sqrt{3}}} =\tau_{\text{adm}}\cdot\frac{5\pi\sqrt{3}}{96}\,d^{3}.
  1. Podemos comparar com o caso maciço. Para o maciço tínhamos
T_a=\tau_{\text{adm}}\cdot\frac{\pi}{16}\,d^{3}.
Fazendo a razão,
\frac{T_b}{T_a}=\frac{\dfrac{5\pi\sqrt{3}}{96}}{\dfrac{\pi}{16}}=\frac{5\sqrt{3}}{6}\approx 1{,}443.
Ou seja, o vazado aguenta cerca de 44{,}3\% a mais de torque que o maciço com a mesma área — boa notícia para quem quer leveza sem perder capacidade de torque.
  1. Agora computo numericamente T_b (uso d^{3}=6859\\ \text{mm}^{3} e \tau_{\text{adm}}=70\\ \text{N/mm}^{2}):
T_b=70\cdot\frac{5\pi\sqrt{3}}{96}\cdot 6859\\ \text{N·mm}.
Fazendo as contas:
T_b\approx 136{,}0\\ \text{N·m}\quad(\text{convertendo de N·mm para N·m}).

Passo 5

Resumo interpretativo (rápida motivação para prova):
  • Use sempre \tau_{\max}=\dfrac{T c}{J} e as fórmulas de J para seção circular (maciço ou vazado).
  • Trabalhe em mm e N/mm ^2 para obter torque em N·mm, depois converta para N·m dividindo por 1000.
  • Quando pedirem “mesma área” vale igualar as áreas das seções e resolver para o diâmetro externo do vazado; às vezes você consegue simplificar simbolicamente (como aqui) e chegar em expressões limpas que facilitam cálculos e comparações rápidas.

Resposta

T_a\approx 94{,}3\\ \mathrm{N\cdot m}
T_b\approx 136{,}0\\ \mathrm{N\cdot m}

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