(a) Determine o torque que pode ser aplicado a um eixo de seção cheia com diâmetro de 19 mm , sem exceder a tensão de cisalhamento admissivel do material do eixo de 70 MPa . (b) Resolva a parte
considerando que o eixo de seção cheia foi substituído por um eixo vazado com a mesma área de seção transversal e com um diâmetro interno igual à metade de seu próprio diâmetro externo.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
- (a) Determinar o torque máximo que pode ser aplicado a um eixo maciço de diâmetro
sem exceder a tensão de cisalhamento admissível . - (b) Repetir o cálculo da parte (a) para um eixo vazado que tenha a mesma área de seção transversal do eixo maciço e cujo diâmetro interno seja a metade do diâmetro externo.
Informações fornecidas (dados do enunciado):
Passo 2
Princípio físico e fórmulas que vamos usar (aula rapidinha e prática):
- Em um eixo circular submetido a torque
, a tensão de cisalhamento máxima (na superfície externa) é dada por
onde:
-
é a tensão de cisalhamento máxima (N/mm ), -
é o torque (N·mm), -
é o raio externo do eixo (mm), -
é o momento polar de inércia da seção (mm ). -
Para um eixo maciço de diâmetro
, o momento polar de inércia é
- Para um eixo vazado com diâmetro externo
e interno ,
- O ângulo
em cada caso é o raio externo:
No exame a ideia prática: isolar
na fórmula
, obtendo
e calcular
e
conforme a seção.
Passo 3
Resolução da parte (a) — eixo maciço:
- Escrevo a fórmula para o torque admissível usando
:
- Substituo as expressões de
e :
- Posso simplificar antes de calcular numericamente:
Observação didática: isso mostra que para eixo maciço
escala com
(útil em provas e estimativas rápidas).
- Agora substituo os valores numéricos (
e ). Primeiro calculo :
Então
- Faço a conta (mantendo unidades N·mm e depois converto para N·m):
Convertendo para N·m (dividindo por
):
Dica amiga: mantenha unidades em N/mm
e mm para que
saia em N·mm, depois passe para N·m se preferir.
Passo 4
Resolução da parte (b) — eixo vazado com mesma área e
:
- Primeiro encontro o diâmetro externo
do eixo vazado impondo igualdade de áreas:
Escrevendo as áreas:
Como
,
- Igualando áreas:
Posso cancelar
:
- Portanto
Com
,
E o diâmetro interno
- Agora calculo
. Em termos de original podemos simplificar a expressão: usando e . Mais direto: para ,
Substituindo
,
Assim
Observação útil: para este caso com mesmas áreas e
, encontramos
logo
(o vazado tem momento polar maior).
- O raio externo do eixo vazado, em termos de
, é
- Agora escrevo o torque admissível para o vazado:
- Podemos comparar com o caso maciço. Para o maciço tínhamos
Fazendo a razão,
Ou seja, o vazado aguenta cerca de
a mais de torque que o maciço com a mesma área — boa notícia para quem quer leveza sem perder capacidade de torque.
- Agora computo numericamente
(uso e ):
Fazendo as contas:
Passo 5
Resumo interpretativo (rápida motivação para prova):
- Use sempre
e as fórmulas de para seção circular (maciço ou vazado). - Trabalhe em mm e N/mm
para obter torque em N·mm, depois converta para N·m dividindo por . - Quando pedirem “mesma área” vale igualar as áreas das seções e resolver para o diâmetro externo do vazado; às vezes você consegue simplificar simbolicamente (como aqui) e chegar em expressões limpas que facilitam cálculos e comparações rápidas.