Questão 12. Calcule o volume gerado pela rotação de
em torno do eixo
no intervalo
.
Passo 1
O enunciado pede: calcular o volume gerado pela rotação da reta
em torno do eixo
no intervalo
.
Informações dadas:
- A curva é
. - O eixo de rotação é o eixo
. - O intervalo de
é . - Queremos o volume do sólido de revolução formado por essa rotação.
Passo 2
Escolha do método (explicação didática e intuitiva).
Quando rotacionamos uma curva em torno do eixo
, o sólido que se forma pode ser visto, para cada
fixo, como um disco (um círculo) de raio igual à altura da curva naquele
. A ideia é aproximar o sólido por muitos discos finos de espessura
, somar os volumes desses discos e depois passar ao limite
. Esse procedimento leva a uma integral chamada método dos discos (ou dos discos e anéis). Vou usar esse método porque aqui a curva está acima do eixo
em
e não há furos (buracos) no sólido — ou seja, usamos discos sólidos (não anéis).
Quando rotacionamos uma curva
Passo 3
Construindo a fórmula do volume pelo método dos discos (aula rápida).
Considere um pequeno intervalo em de comprimento
. Ao girar o segmento vertical correspondente em torno do eixo
, obtemos um disco de raio
e espessura
.
Considere um pequeno intervalo em
- A área de um círculo de raio
é . - O volume aproximado desse disco é
.
No nosso caso o raio do disco em abscissaé justamente a altura da curva, ou seja . Somando os discos e passando ao limite, obtemos a integral
Aqui
e
são os extremos do intervalo de rotação. Esta fórmula é muito usada: cada variável representa
-
: volume procurado, -
: constante geométrica (área do círculo), -
: função que dá o raio do disco para cada , -
: elemento infinitesimal de comprimento ao longo de .
Passo 4
Aplicando a fórmula ao nosso problema.
Temos ,
e
. Substituindo na fórmula do passo anterior:
Temos
Passo 5
Recordando a regra de integração que vamos usar (pequena aula).
A regra básica que usamos é a regra do polinômio (regra da potência):
A regra básica que usamos é a regra do polinômio (regra da potência):
No nosso caso
, então
Isto vem de derivar
:
.
Passo 6
Calcule a integral definida passo a passo.
Usando o antiderivado do passo anterior:
Usando o antiderivado do passo anterior:
Calcule os termos:
-
. - Então
. - E
.
Portanto
Passo 7
Multiplique pelo fator
que ficou fora da integral.
Como e a integral vale
, obtemos
Como