Questão 12. Calcule o volume gerado pela rotação de y=x em torno do eixo x no intervalo [0,3].

Passo 1

O enunciado pede: calcular o volume gerado pela rotação da reta y=x em torno do eixo x no intervalo [0,3].
Informações dadas:
  • A curva é y=x.
  • O eixo de rotação é o eixo x.
  • O intervalo de x é [0,3].
  • Queremos o volume do sólido de revolução formado por essa rotação.

Passo 2

Escolha do método (explicação didática e intuitiva).
Quando rotacionamos uma curva y=f(x) em torno do eixo x, o sólido que se forma pode ser visto, para cada x fixo, como um disco (um círculo) de raio igual à altura da curva naquele x. A ideia é aproximar o sólido por muitos discos finos de espessura \Delta x, somar os volumes desses discos e depois passar ao limite \Delta x\to0. Esse procedimento leva a uma integral chamada método dos discos (ou dos discos e anéis). Vou usar esse método porque aqui a curva está acima do eixo x em [0,3] e não há furos (buracos) no sólido — ou seja, usamos discos sólidos (não anéis).

Passo 3

Construindo a fórmula do volume pelo método dos discos (aula rápida).
Considere um pequeno intervalo em x de comprimento \Delta x. Ao girar o segmento vertical correspondente em torno do eixo x, obtemos um disco de raio r e espessura \Delta x.
  • A área de um círculo de raio r é \pi r^2.
  • O volume aproximado desse disco é \text{(área)} \times \text{(espessura)} = \pi r^2 \Delta xá.
    No nosso caso o raio do disco em abscissa x é justamente a altura y da curva, ou seja r=y=f(x). Somando os discos e passando ao limite, obtemos a integral
V = \pi \int_{a}^{b} [f(x)]^{2}\,dx.
Aqui a e b são os extremos do intervalo de rotação. Esta fórmula é muito usada: cada variável representa
  • V: volume procurado,
  • \pi: constante geométrica (área do círculo),
  • f(x): função que dá o raio do disco para cada x,
  • dx: elemento infinitesimal de comprimento ao longo de x.

Passo 4

Aplicando a fórmula ao nosso problema.
Temos f(x)=x, a=0 e b=3. Substituindo na fórmula do passo anterior:
V = \pi \int_{0}^{3} [x]^{2}\,dx = \pi \int_{0}^{3} x^{2}\,dx.

Passo 5

Recordando a regra de integração que vamos usar (pequena aula).
A regra básica que usamos é a regra do polinômio (regra da potência):
\int x^{n}\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C\quad\text{para } n\neq -1.
No nosso caso n=2, então
\int x^{2}\,dx = \frac{x^{3}}{3} + C.
Isto vem de derivar \frac{x^{3}}{3}: \frac{d}{dx}\left(\frac{x^{3}}{3}\right)=x^{2}.

Passo 6

Calcule a integral definida passo a passo.
Usando o antiderivado do passo anterior:
\int_{0}^{3} x^{2}\,dx = \left[\frac{x^{3}}{3}\right]_{0}^{3} = \frac{3^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}.
Calcule os termos:
  • 3^{3} = 27.
  • Então \frac{3^{3}}{3} = \frac{27}{3} = 9.
  • E \frac{0^{3}}{3}=0.
Portanto
\int_{0}^{3} x^{2}\,dx = 9.

Passo 7

Multiplique pelo fator \pi que ficou fora da integral.
Como V = \pi \int_{0}^{3} x^{2}\,dx e a integral vale 9, obtemos
V = \pi \cdot 9 = 9\pi.

Resposta

9\pi

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