Achar o comprimento de cada curva.
C \dot{e} \theta anco P(\theta)=e \vec{\imath}+(\theta \operatorname{sen} \theta) \vec{\jmath}+(\theta \cos \theta) \vec{k} ; 0 \leq \theta \leq \pi.

Passo 1

O enunciado pede o comprimento da curva C parametrizada por
P(\theta)=e\,\vec{\imath}+(\theta\sin\theta)\,\vec{\jmath}+(\theta\cos\theta)\,\vec{k},
no intervalo \;0\le\theta\le\pi.
Informações dadas:
x(\theta)=e,\qquad y(\theta)=\theta\sin\theta,\qquad z(\theta)=\theta\cos\theta,
com \theta variando de 0 até \pi.
A pergunta clara é: qual é o comprimento da curva C para esse parâmetro?

Passo 2

A fórmula para o comprimento de uma curva parametrizada por \mathbf{r}(\theta) é
L=\int_{a}^{b}\big\|\mathbf{r}'(\theta)\big\|\,d\theta,
onde \mathbf{r}'(\theta) é a derivada vetorial da parametrização e \|\cdot\| é a norma euclidiana (o comprimento do vetor velocidade). Aqui \mathbf{r}(\theta)=P(\theta) e o intervalo é [0,\pi]. Vamos então calcular \mathbf{r}'(\theta), sua norma e integrar.

Passo 3

Calculamos as derivadas componentes por componente.
\frac{d}{d\theta}x(\theta)=\frac{d}{d\theta}e=0,
\frac{d}{d\theta}y(\theta)=\frac{d}{d\theta}\big(\theta\sin\theta\big)=\sin\theta+\theta\cos\theta
(pela regra do produto),
\frac{d}{d\theta}z(\theta)=\frac{d}{d\theta}\big(\theta\cos\theta\big)=\cos\theta-\theta\sin\theta.
Logo
\mathbf{r}'(\theta)=\big(0,\;\sin\theta+\theta\cos\theta,\;\cos\theta-\theta\sin\theta\big).

Passo 4

Agora calculamos a norma ao quadrado \big\|\mathbf{r}'(\theta)\big\|^{2} e simplificamos:
\big\|\mathbf{r}'(\theta)\big\|^{2}=(\sin\theta+\theta\cos\theta)^{2}+(\cos\theta-\theta\sin\theta)^{2}.
Desenvolvendo os quadrados:
=\sin^{2}\theta+2\theta\sin\theta\cos\theta+\theta^{2}\cos^{2}\theta +\cos^{2}\theta-2\theta\sin\theta\cos\theta+\theta^{2}\sin^{2}\theta.
Os termos mistos 2\theta\sin\theta\cos\theta se cancelam, e agrupando:
=\big(\sin^{2}\theta+\cos^{2}\theta\big)+\theta^{2}\big(\cos^{2}\theta+\sin^{2}\theta\big).
Usando \sin^{2}\theta+\cos^{2}\theta=1, obtemos
\big\|\mathbf{r}'(\theta)\big\|^{2}=1+\theta^{2}.
Portanto
\big\|\mathbf{r}'(\theta)\big\|=\sqrt{1+\theta^{2}}.

Passo 5

O comprimento L é
L=\int_{0}^{\pi}\sqrt{1+\theta^{2}}\,d\theta.
Precisamos calcular essa integral definida. Vou mostrar um método limpo para integrar \sqrt{1+\theta^{2}}.

Passo 6

Fazemos a substituição hiperbólica \theta=\operatorname{sinh} u. Então
d\theta=\operatorname{cosh} u\,du,\qquad \sqrt{1+\theta^{2}}=\sqrt{1+\operatorname{sinh}^{2}u}=\operatorname{cosh} u.
A integral vira
\int\sqrt{1+\theta^{2}}\,d\theta=\int\operatorname{cosh} u\cdot\operatorname{cosh} u\,du=\int\operatorname{cosh}^{2}u\,du.
Usamos a identidade \operatorname{cosh}^{2}u=\tfrac{1}{2}(1+\operatorname{cosh} 2u), portanto
\int\operatorname{cosh}^{2}u\,du=\frac{1}{2}\int(1+\operatorname{cosh} 2u)\,du=\frac{1}{2}\Big(u+\frac{1}{2}\operatorname{sinh} 2u\Big)+C.
Voltando para \theta: temos u=\operatorname{arsinh}\theta=\ln\big(\theta+\sqrt{1+\theta^{2}}\big) e
\operatorname{sinh} 2u=2\operatorname{sinh} u\operatorname{cosh} u=2\theta\sqrt{1+\theta^{2}}.
Substituindo:
\int\sqrt{1+\theta^{2}}\,d\theta=\frac{1}{2}\ln\big(\theta+\sqrt{1+\theta^{2}}\big)+\frac{1}{2}\theta\sqrt{1+\theta^{2}}+C.
(Se preferir, esta é a fórmula padrão \int\sqrt{x^{2}+a^{2}}\,dx=\tfrac{x}{2}\sqrt{x^{2}+a^{2}}+\tfrac{a^{2}}{2}\ln(x+\sqrt{x^{2}+a^{2}})+C com a=1.)

Passo 7

Agora avaliamos a primitiva no intervalo [0,\pi]. Seja
F(\theta)=\frac{\theta}{2}\sqrt{1+\theta^{2}}+\frac{1}{2}\ln\big(\theta+\sqrt{1+\theta^{2}}\big).
Então
L=F(\pi)-F(0).
Calculamos F(\pi) e F(0):
F(\pi)=\frac{\pi}{2}\sqrt{1+\pi^{2}}+\frac{1}{2}\ln\big(\pi+\sqrt{1+\pi^{2}}\big),
F(0)=\frac{0}{2}\sqrt{1+0^{2}}+\frac{1}{2}\ln\big(0+\sqrt{1+0^{2}}\big)=0+\frac{1}{2}\ln 1=0.
Portanto
L=\frac{\pi}{2}\sqrt{1+\pi^{2}}+\frac{1}{2}\ln\big(\pi+\sqrt{1+\pi^{2}}\big).

Resposta

\frac{\pi}{2}\sqrt{1+\pi^{2}}+\frac{1}{2}\ln\!\big(\pi+\sqrt{1+\pi^{2}}\big)

Exercícios relacionados