Achar o comprimento de cada curva.
anco
.
Passo 1
O enunciado pede o comprimento da curva
parametrizada por
no intervalo
.
Informações dadas:
Informações dadas:
com
variando de
até
.
A pergunta clara é: qual é o comprimento da curva para esse parâmetro?
A pergunta clara é: qual é o comprimento da curva
Passo 2
A fórmula para o comprimento de uma curva parametrizada por
é
onde
é a derivada vetorial da parametrização e
é a norma euclidiana (o comprimento do vetor velocidade). Aqui
e o intervalo é
. Vamos então calcular
, sua norma e integrar.
Passo 3
Calculamos as derivadas componentes por componente.
(pela regra do produto),
Logo
Passo 4
Agora calculamos a norma ao quadrado
e simplificamos:
Desenvolvendo os quadrados:
Os termos mistos
se cancelam, e agrupando:
Usando
, obtemos
Portanto
Passo 5
O comprimento
é
Precisamos calcular essa integral definida. Vou mostrar um método limpo para integrar
.
Passo 6
Fazemos a substituição hiperbólica
. Então
A integral vira
Usamos a identidade
, portanto
Voltando para
: temos
e
Substituindo:
(Se preferir, esta é a fórmula padrão
com
.)
Passo 7
Agora avaliamos a primitiva no intervalo
. Seja
Então
Calculamos
e
:
Portanto