Determine o trabalho feito pelo campo vetorial \vec{F}(x, y, z)=(x y, y z, z x) para mover uma partícula ao longo da curva \vec{r}(t)=\left(t, t^{2}, t^{3}\right) em que 0 \leq t \leq \pi.
Passo 1
O enunciado pede o trabalho feito pelo campo vetorial \vec{F}(x,y,z)=(x y,\, y z,\, z x) ao mover uma partícula ao longo da curva parametrizada por \vec{r}(t)=\left(t,\,t^{2},\,t^{3}\right) para 0\le t\le \pi.
Informações dadas que vamos usar: \vec{F}(x,y,z)=(x y,\, y z,\, z x). \vec{r}(t)=\left(t,\,t^{2},\,t^{3}\right).
Intervalo de parâmetro: 0\le t\le \pi.
Passo 2
Método: para calcular o trabalho W de um campo ao longo de uma curva parametrizada, usamos a integral de linha formalizada por
Explicando cada parte (passo a passo): \vec{r}\,'(t) é a derivada da parametrização em relação a t, que dá o vetor tangente à curva; \vec{F}(\vec{r}(t)) é o campo avaliado nos pontos da curva (substituímos x,y,z pelas componentes de \vec{r}(t)); o produto escalar \vec{F}(\vec{r}(t))\cdot\vec{r}\,'(t) multiplica componente a componente e soma, produzindo uma função de t que integramos de a até b. A ideia é traduzir o problema geométrico para uma integral de uma função de uma variável.
Passo 3
Calculemos a derivada da parametrização componente a componente:
Breve verificação de coerência: para t\ge 0 o integrando t^{3}+5t^{6} é não negativo, então o trabalho ser positivo faz sentido; as operações foram polinomiais simples, nada de funções estranhas. Tudo consistente.