Determine o trabalho feito pelo campo vetorial \vec{F}(x, y, z)=(x y, y z, z x) para mover uma partícula ao longo da curva \vec{r}(t)=\left(t, t^{2}, t^{3}\right) em que 0 \leq t \leq \pi.

Passo 1

O enunciado pede o trabalho feito pelo campo vetorial \vec{F}(x,y,z)=(x y,\, y z,\, z x) ao mover uma partícula ao longo da curva parametrizada por \vec{r}(t)=\left(t,\,t^{2},\,t^{3}\right) para 0\le t\le \pi.
Informações dadas que vamos usar:
\vec{F}(x,y,z)=(x y,\, y z,\, z x).
\vec{r}(t)=\left(t,\,t^{2},\,t^{3}\right).
Intervalo de parâmetro: 0\le t\le \pi.

Passo 2

Método: para calcular o trabalho W de um campo ao longo de uma curva parametrizada, usamos a integral de linha formalizada por
W=\int_{C}\vec{F}\cdot d\vec{r}=\int_{a}^{b}\vec{F}(\vec{r}(t))\cdot \vec{r}\,'(t)\,dt.
Explicando cada parte (passo a passo): \vec{r}\,'(t) é a derivada da parametrização em relação a t, que dá o vetor tangente à curva; \vec{F}(\vec{r}(t)) é o campo avaliado nos pontos da curva (substituímos x,y,z pelas componentes de \vec{r}(t)); o produto escalar \vec{F}(\vec{r}(t))\cdot\vec{r}\,'(t) multiplica componente a componente e soma, produzindo uma função de t que integramos de a até b. A ideia é traduzir o problema geométrico para uma integral de uma função de uma variável.

Passo 3

Calculemos a derivada da parametrização componente a componente:
\vec{r}(t)=\bigl(t,\,t^{2},\,t^{3}\bigr)\quad\Longrightarrow\quad \vec{r}\,'(t)=\bigl(1,\,2t,\,3t^{2}\bigr).
Aqui foi só derivar cada componente: \frac{d}{dt}t=1, \frac{d}{dt}t^{2}=2t, \frac{d}{dt}t^{3}=3t^{2}.

Passo 4

Agora avaliamos o campo em \vec{r}(t) substituindo x=t, y=t^{2}, z=t^{3}:
\vec{F}(\vec{r}(t))=\bigl(xy,\,yz,\,zx\bigr)\big|_{(t,t^{2},t^{3})} =\bigl(t\cdot t^{2},\,t^{2}\cdot t^{3},\,t^{3}\cdot t\bigr) =\bigl(t^{3},\,t^{5},\,t^{4}\bigr).
Expliquei cada produto: xy=t\cdot t^{2}=t^{3}, etc.

Passo 5

Fazemos o produto escalar entre \vec{F}(\vec{r}(t)) e \vec{r}\,'(t). O produto escalar de (a,b,c) e (u,v,w) é au+bv+cw. Aplicando aqui:
\vec{F}(\vec{r}(t))\cdot\vec{r}\,'(t) = t^{3}\cdot 1 + t^{5}\cdot (2t) + t^{4}\cdot (3t^{2}).
Simplificando os produtos:
t^{3} + 2t^{6} + 3t^{6} = t^{3} + 5t^{6}.
Portanto a função que vamos integrar é t^{3}+5t^{6}.

Passo 6

Montamos a integral do trabalho no intervalo 0\le t\le \pi:
W=\int_{0}^{\pi}\bigl(t^{3}+5t^{6}\bigr)\,dt.
Integramos termo a termo usando a regra \int t^{n}\,dt=\dfrac{t^{n+1}}{n+1}:
\int\bigl(t^{3}+5t^{6}\bigr)\,dt=\frac{t^{4}}{4}+\frac{5t^{7}}{7}+C.
Avaliando de 0 a \pi:
W=\left[\frac{t^{4}}{4}+\frac{5t^{7}}{7}\right]_{0}^{\pi} =\frac{\pi^{4}}{4}+\frac{5\pi^{7}}{7}-\biggl(0\biggr).

Passo 7

Breve verificação de coerência: para t\ge 0 o integrando t^{3}+5t^{6} é não negativo, então o trabalho ser positivo faz sentido; as operações foram polinomiais simples, nada de funções estranhas. Tudo consistente.

Resposta

\displaystyle \frac{\pi^{4}}{4}+\frac{5\pi^{7}}{7}

Exercícios relacionados