Calcule
onde
está entre as esferas
(3)
(B)
(3)
(B)
Passo 1
O enunciado pede que eu calcule a integral tripla
onde a região
é o conjunto de pontos entre as esferas
Assim, as perguntas são: calcular o valor numérico da integral tripla dada sobre a região entre as duas esferas (raios
e
). As informações relevantes do enunciado são os dois raios:
e
.
Passo 2
Escolho usar coordenadas esféricas porque a região
é formada por esferas concêntricas e a função a integrar depende apenas de
, que em coordenadas esféricas fica muito simples. Vou definir as coordenadas esféricas e explicar o que cada símbolo significa:
onde
é a distância do ponto à origem (raio),
é o ângulo polar (medido a partir do eixo
) e
é o ângulo azimutal no plano
. O elemento de volume em coordenadas esféricas é
Breve justificativa do fator
:
aparece porque as pequenas variações em
,
e
formam um paralelepípedo curvo com lados proporcionais a
,
e
; o volume aproximado é o produto desses comprimentos, dando
.
Passo 3
Agora escrevo a função integranda em termos de
. Como
temos
Então a integral fica, com os limites apropriados (raio
entre
e
,
entre
e
,
entre
e
):
Passo 4
Simplifico a expressão dentro da integral:
Portanto a integral separa-se naturalmente em produto de integrais (uma parte radial e uma angular):
Passo 5
Faço a separação das integrais (variáveis independentes):
Calculo cada uma:
- A integral em
:
- A integral em
:
Assim o fator angular total é
.
Passo 6
Agora calculo a integral radial:
Faço as potências:
logo
Portanto a integral radial é
.
Passo 7
Multiplico o fator angular
pela integral radial
: