Calcule \iiint_{E}\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{2} d V onde E está entre as esferas
(3)
(B)
x^{2}+y^{2}+z^{2}=4 \text { e } x^{2}+y^{2}+z^{2}=9

Passo 1

O enunciado pede que eu calcule a integral tripla
\iiint_{E}\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{2}\,dV
onde a região E é o conjunto de pontos entre as esferas
x^{2}+y^{2}+z^{2}=4\quad\text{e}\quad x^{2}+y^{2}+z^{2}=9.
Assim, as perguntas são: calcular o valor numérico da integral tripla dada sobre a região entre as duas esferas (raios 2 e 3). As informações relevantes do enunciado são os dois raios: \sqrt{4}=2 e \sqrt{9}=3.

Passo 2

Escolho usar coordenadas esféricas porque a região E é formada por esferas concêntricas e a função a integrar depende apenas de x^{2}+y^{2}+z^{2}, que em coordenadas esféricas fica muito simples. Vou definir as coordenadas esféricas e explicar o que cada símbolo significa:
\begin{aligned} x &= \rho\sin\varphi\cos\theta,\\\ y &= \rho\sin\varphi\sin\theta,\\\ z &= \rho\cos\varphi, \end{aligned}
onde \rho\ge 0 é a distância do ponto à origem (raio), \varphi\in[0,\pi] é o ângulo polar (medido a partir do eixo z) e \theta\in[0,2\pi) é o ângulo azimutal no plano xy. O elemento de volume em coordenadas esféricas é
dV = \rho^{2}\sin\varphi\, d\rho\, d\varphi\, d\theta.
Breve justificativa do fator \rho^{2}\sin\varphi: \rho^{2} aparece porque as pequenas variações em \rho, \varphi e \theta formam um paralelepípedo curvo com lados proporcionais a d\rho, \rho\,d\varphi e \rho\sin\varphi\,d\theta; o volume aproximado é o produto desses comprimentos, dando \rho^{2}\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta.

Passo 3

Agora escrevo a função integranda em termos de \rho,\varphi,\theta. Como
x^{2}+y^{2}+z^{2}=\rho^{2},
temos
\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{2} = \rho^{4}.
Então a integral fica, com os limites apropriados (raio \rho entre 2 e 3, \varphi entre 0 e \pi, \theta entre 0 e 2\pi):
\iiint_{E}\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{2}\,dV = \int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\pi}\int_{2}^{3} \rho^{4}\cdot \rho^{2}\sin\varphi \, d\rho\, d\varphi\, d\theta.

Passo 4

Simplifico a expressão dentro da integral:
\rho^{4}\cdot \rho^{2}\sin\varphi = \rho^{6}\sin\varphi.
Portanto a integral separa-se naturalmente em produto de integrais (uma parte radial e uma angular):
\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\pi}\int_{2}^{3} \rho^{6}\sin\varphi \, d\rho\, d\varphi\, d\theta.

Passo 5

Faço a separação das integrais (variáveis independentes):
\left(\int_{0}^{2\pi} d\theta\right) \left(\int_{0}^{\pi} \sin\varphi\, d\varphi\right) \left(\int_{2}^{3} \rho^{6}\, d\rho\right).
Calculo cada uma:
  • A integral em \theta:
\int_{0}^{2\pi} d\theta = 2\pi.
  • A integral em \varphi:
\int_{0}^{\pi} \sin\varphi\, d\varphi = \bigl[-\cos\varphi\bigr]_{0}^{\pi} = -\cos\pi -(-\cos 0)= -(-1)-(-1)=2.
Assim o fator angular total é 2\pi\times 2 = 4\pi.

Passo 6

Agora calculo a integral radial:
\int_{2}^{3} \rho^{6}\, d\rho = \left[\frac{\rho^{7}}{7}\right]_{2}^{3} = \frac{3^{7}-2^{7}}{7}.
Faço as potências:
3^{7}=2187,\qquad 2^{7}=128,
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3^{7}-2^{7}=2187-128=2059.
Portanto a integral radial é \dfrac{2059}{7}.

Passo 7

Multiplico o fator angular 4\pi pela integral radial \dfrac{2059}{7}:
4\pi \cdot \frac{2059}{7} = \frac{4\cdot 2059\,\pi}{7} = \frac{8236\,\pi}{7}.

Resposta

\displaystyle \frac{8236\pi}{7}

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