Determine o trabalho das forças de campo elétrico de uma carga puntiforme \mathrm{Q}=5,0 \mu \mathrm{C} para transportar outra carga puntiforme \mathrm{q}=2,0 \cdot 10^{-2} \mu \mathrm{C} de um ponto A a outro ponto B , distantes 1,0 \mathrm{~m} e 2,0 \mathrm{~m} da carga Q , respectivamente.

Passo 1

O que o exercício pede: calcular o trabalho realizado pelas forças do campo elétrico de uma carga puntiforme \mathrm{Q} ao transportar outra carga puntiforme \mathrm{q} do ponto A para o ponto B.
Dados fornecidos (vou listar e já converter para SI, porque toda conta elétrica precisa usar coulombs e metros):
\mathrm{Q}=5{,}0\\ \mu\mathrm{C}=5{,}0\times10^{-6}\\ \mathrm{C}
\mathrm{q}=2{,}0\times10^{-2}\\ \mu\mathrm{C}=2{,}0\times10^{-8}\\ \mathrm{C}
r_A=1{,}0\\ \mathrm{m},\qquad r_B=2{,}0\\ \mathrm{m}
Aqui r_A é a distância entre \mathrm{q} e \mathrm{Q} quando a carga está em A, e r_B quando está em B.

Passo 2

Conceito e fórmula que vamos usar (explicadinha passo a passo):
  • O potencial elétrico criado por uma carga puntiforme \mathrm{Q} a uma distância r é dado por
V(r)=k\frac{Q}{r},
onde k é a constante eletrostática, k=8{,}99\times10^{9}\\ \mathrm{N\,m^{2}/C^{2}}. Aqui V tem unidades de volts (joules por coulomb).
  • A energia potencial elétrica de uma carga \mathrm{q} colocada nesse ponto é
U(r)=q\,V(r)=k\frac{Qq}{r}.
Explicando: U(r) é a energia associada à posição da carga \mathrm{q} no campo criado por \mathrm{Q}.
  • Para forças conservativas (como a força elétrica), o trabalho realizado pela própria força de campo ao mover a carga de A para B é igual à variação negativa da energia potencial:
W_{\text{campo}}=-\Delta U=U(A)-U(B).
Isso faz sentido porque se a energia potencial diminui, o campo forneceu energia (trabalho positivo); se aumenta, o campo fez trabalho negativo.
  • Substituindo a expressão de U obtemos a fórmula prática:
W_{\text{campo}}=kQq\left(\frac{1}{r_A}-\frac{1}{r_B}\right).
Essa é a expressão que vamos calcular. Nesta fórmula: k é a constante, Q e q são as cargas em coulombs, e r_A,r_B são as distâncias em metros.

Passo 3

Agora vamos calcular passo a passo, sem pular contas:
  1. Calcule o produto das cargas:
Qq=(5{,}0\times10^{-6})(2{,}0\times10^{-8})=1{,}0\times10^{-13}\\ \mathrm{C^{2}}.
  1. Multiplique por k:
kQq=(8{,}99\times10^{9})(1{,}0\times10^{-13})=8{,}99\times10^{-4}\\ \mathrm{J\cdot m}.
(obs.: a unidade intermediária é J·m porque ainda falta a divisão por uma distância; no próximo passo aplicamos a diferença de recíprocos que tem unidade 1/\mathrm{m}.)
3) Calcule a diferença dos recíprocos das distâncias:
\frac{1}{r_A}-\frac{1}{r_B}=\frac{1}{1{,}0}-\frac{1}{2{,}0}=1{,}0-0{,}5=0{,}5\\ \mathrm{m^{-1}}.
  1. Finalmente multiplique:
W_{\text{campo}}=(8{,}99\times10^{-4})(0{,}5)=4{,}495\times10^{-4}\\ \mathrm{J}.
Arredondando com os algarismos significativos compatíveis com os dados (dois algarismos significativos em muitas das grandezas), podemos escrever
W_{\text{campo}}\approx4{,}5\times10^{-4}\\ \mathrm{J}.

Passo 4

Interpretação física curta e incentivo:
  • O resultado é positivo, o que faz sentido: ambas as cargas são positivas ( \mathrm{Q}>0 e \mathrm{q}>0), então a força elétrica é repulsiva. Ao mover \mathrm{q} de r=1{,}0\\ \mathrm{m} para r=2{,}0\\ \mathrm{m} estamos afastando-a da fonte \mathrm{Q}; esse deslocamento está na mesma direção da força de repulsão, logo o campo faz trabalho positivo sobre \mathrm{q}.
  • Força elétrica sendo conservativa, você poderia também obter o mesmo resultado calculando W_{\text{campo}}=q\big(V(A)-V(B)\big). É útil memorizar tanto a forma com U quanto a com V.
Força! Você já tem a fórmula e as contas prontas para aplicar em provas parecidas — só trocar cargas e distâncias.

Resposta

W_{\text{campo}}=4{,}5\times10^{-4}\\ \mathrm{J}

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