Exercício 7 Mostre que \int_{0}^{+\infty} x e^{-x} \operatorname{sen}(x) d x=\frac{1}{2}.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que
\int_{0}^{+\infty} x e^{-x}\sin(x)\,dx=\frac{1}{2}.
Informações dadas e o que precisamos:
  • A integral é imprópria no infinito, com integrando x e^{-x}\sin x.
  • Devemos avaliar essa integral e obter um número real.
  • É permitido usar técnicas de integração (partes, transformada de Laplace, exponencial complexa, etc.). Não pediram um método específico.

Passo 2

Ideia principal (explicada devagar): escrever \sin x como parte da exponencial complexa e usar linearidade da integral. Escrevendo \sin x=\operatorname{Im}(e^{ix}) temos
x e^{-x}\sin x=\operatorname{Im}\bigl(x e^{-x}e^{ix}\bigr)=\operatorname{Im}\bigl(x e^{-(1-i)x}\bigr).
Se for permitido trocar a operação de tomar parte imaginária com a integral (vou justificar isso em seguida), então
\int_{0}^{\infty} x e^{-x}\sin x\,dx =\operatorname{Im}\!\left(\int_{0}^{\infty} x e^{-(1-i)x}\,dx\right).
Vou justificar a troca: para todo x\ge0 vale
\bigl|x e^{-(1-i)x}\bigr|=x e^{-x},
e \int_{0}^{\infty} x e^{-x}\,dx converge (é uma integral de tipo gamma igual a 1 — vou calcular isso explicitamente depois). Assim o integrando complexo é absolutamente integrável, o que permite trocar integral e parte imaginária.

Passo 3

Calcular a integral geral \displaystyle \int_{0}^{\infty} x e^{-s x}\,dx para \operatorname{Re}(s)>0. Esta é uma identidade básica (transformada de Laplace de x), mas vamos derivá-la por partes para ficar claro.
Faça integração por partes com u=x e dv=e^{-s x}dx. Então du=dx e v=-\dfrac{1}{s}e^{-s x}. Assim
\int_{0}^{\infty} x e^{-s x}\,dx =\left[x\left(-\frac{1}{s}e^{-s x}\right)\right]_{0}^{\infty} -\int_{0}^{\infty}\left(-\frac{1}{s}e^{-s x}\right)\,dx.
Avaliação do termo de fronteira: como \operatorname{Re}(s)>0 temos e^{-s x}\to0 exponencialmente quando x\to\infty, logo x e^{-s x}\to0. Em x=0 o termo vale 0. Portanto o primeiro colchete é 0. O segundo integral fica
\int_{0}^{\infty} x e^{-s x}\,dx =\frac{1}{s}\int_{0}^{\infty} e^{-s x}\,dx.
Mas \int_{0}^{\infty} e^{-s x}\,dx=\dfrac{1}{s} (para \operatorname{Re}(s)>0). Logo
\int_{0}^{\infty} x e^{-s x}\,dx=\frac{1}{s}\cdot\frac{1}{s}=\frac{1}{s^{2}}.

Passo 4

Aplicar o resultado do passo anterior com s=1-i. Como \operatorname{Re}(1-i)=1>0, podemos aplicar a fórmula:
\int_{0}^{\infty} x e^{-(1-i)x}\,dx=\frac{1}{(1-i)^{2}}.
Então, lembrando do passo 2,
\int_{0}^{\infty} x e^{-x}\sin x\,dx =\operatorname{Im}\!\left(\frac{1}{(1-i)^{2}}\right).
Vamos simplificar (1-i)^{2}:
(1-i)^{2}=1-2i+i^{2}=1-2i-1=-2i.
Portanto
\frac{1}{(1-i)^{2}}=\frac{1}{-2i}=-\frac{1}{2i}.
Transformando -\dfrac{1}{2i} numa forma mais clara: multiplicando numerador e denominador por i obtemos
-\frac{1}{2i}=-\frac{1\cdot i}{2i^{2}}=-\frac{i}{2(-1)}=\frac{i}{2}.

Passo 5

Agora tomamos a parte imaginária:
\operatorname{Im}\!\left(\frac{1}{(1-i)^{2}}\right)=\operatorname{Im}\!\left(\frac{i}{2}\right)=\frac{1}{2}.
Portanto a integral vale \dfrac{1}{2}.

Passo 6

Uma alternativa sem apelidarmos muito de números complexos: calcular por partes duas integrais auxiliares
A=\int_{0}^{\infty} e^{-x}\cos x\,dx,\qquad B=\int_{0}^{\infty} e^{-x}\sin x\,dx,
e então usar uma integração por partes direta na integral original.
Primeiro calcule A e B usando exponencial complexa curta: \int_{0}^{\infty} e^{-x}e^{ix}dx=\int_{0}^{\infty} e^{-(1-i)x}dx=\dfrac{1}{1-i}. Assim
A=\operatorname{Re}\!\left(\frac{1}{1-i}\right),\qquad B=\operatorname{Im}\!\left(\frac{1}{1-i}\right).
Como \dfrac{1}{1-i}=\dfrac{1+i}{2} segue A=B=\dfrac{1}{2}.
Agora faça integração por partes em
I=\int_{0}^{\infty} x e^{-x}\sin x\,dx
com u=x e dv=e^{-x}\sin x\,dx. Uma primitiva de e^{-x}\sin x é -\dfrac{1}{2}e^{-x}(\sin x+\cos x) (pode-se verificar derivando). Então
I=\left[x\left(-\tfrac{1}{2}e^{-x}(\sin x+\cos x)\right)\right]_{0}^{\infty} -\int_{0}^{\infty}\left(-\tfrac{1}{2}e^{-x}(\sin x+\cos x)\right)\,dx.
O termo de fronteira vale 0 (decai exponencialmente). Logo
I=\frac{1}{2}\int_{0}^{\infty} e^{-x}(\sin x+\cos x)\,dx =\frac{1}{2}\bigl(B+A\bigr)=\frac{1}{2}\left(\tfrac{1}{2}+\tfrac{1}{2}\right)=\frac{1}{2}.
Isso confirma o resultado sem apelar ao cálculo de \int x e^{-s x}\,dx.

Resposta

\dfrac{1}{2}

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