Exercício 8 Seja
uma função contínua a valores complexos, com derivadas parciais contínuas numa região
e sobre sua fronteira
, onde
e
. Prove que o Teorema de Green pode ser enunciado da seguinte forma:
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações (tudo retirado do enunciado):
-
é uma função complexa contínua, com derivadas parciais contínuas numa região e sobre sua fronteira . - Usa-se a notação
e . - A curva
é a fronteira de ; assumimos a orientação positiva (anti-horária), que é a hipótese usual para aplicar o Teorema de Green.
O que se pede: provar a identidade
Passo 2
Separar
em parte real e imaginária e escrever
em termos de
.
- Escrevemos
, onde e são funções reais de . - Também
.
Agora multiplicamos:
Expandindo e recolhendo parte real e imaginária:
Portanto a integral complexa ao longo de
separa-se em duas integrais reais:
Passo 3
Lembrar e escrever o Teorema de Green na forma usada aqui.
O Teorema de Green (versão clássica) diz que, para com derivadas parciais contínuas em
e
orientada positivamente,
O Teorema de Green (versão clássica) diz que, para
Vamos aplicar essa fórmula às duas integrais reais obtidas no passo anterior, escolhendo adequadamente
e
em cada caso.
Passo 4
Aplicar Green à primeira integral
.
Aqui tomamos e
. Pelo Teorema de Green,
Aqui tomamos
onde escrevi
,
,
, etc.
Agora aplicar Green à segunda integral
.
Aqui tomamos e
. Pelo Teorema de Green,
Aqui tomamos
Passo 5
Reunir as duas contribuições para voltar à integral complexa.
Usando os resultados dos passos anteriores:
Usando os resultados dos passos anteriores:
Como as integrais duplas têm a mesma região, podemos juntar:
Passo 6
Introduzir a derivada de Wirtinger
e relacioná-la com
e
.
A definição conveniente (derivada de Wirtinger) é
A definição conveniente (derivada de Wirtinger) é
Aplicando essa definição a
obtemos
Calculemos com cuidado a soma interior:
Portanto
Passo 7
Mostrar que o integrando obtido em
Passo 8
Multiplicando por
a expressão de
:
Como
, isso dá
que é exatamente o integrando que apareceu em
Passo 9
Passo 10
Concluir a prova substituindo na integral dupla.
A igualdade do passo anterior permite escrever
A igualdade do passo anterior permite escrever
Assim obtemos exatamente a fórmula desejada: