Exercício 8 Seja B(z, \bar{z}) uma função contínua a valores complexos, com derivadas parciais contínuas numa região \mathcal{R} e sobre sua fronteira C, onde z=x+i y e \bar{z}=x-i y. Prove que o Teorema de Green pode ser enunciado da seguinte forma:
\oint_{C} B(z, \bar{z}) d z=2 i \iint_{\mathcal{R}} \frac{\partial B}{\partial \bar{z}} d x d y

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações (tudo retirado do enunciado):
  • B(z,\bar{z}) é uma função complexa contínua, com derivadas parciais contínuas numa região \mathcal{R} e sobre sua fronteira C.
  • Usa-se a notação z=x+i y e \bar{z}=x-i y.
  • A curva C é a fronteira de \mathcal{R}; assumimos a orientação positiva (anti-horária), que é a hipótese usual para aplicar o Teorema de Green.
    O que se pede: provar a identidade
\oint_{C} B(z,\bar{z})\,dz = 2 i \iint_{\mathcal{R}} \frac{\partial B}{\partial \bar{z}}\,dx\,dy.

Passo 2

Separar B em parte real e imaginária e escrever dz em termos de dx,dy.
  • Escrevemos B(z,\bar z)=u(x,y)+i v(x,y), onde u e v são funções reais de x,y.
  • Também dz = dx + i\,dy.
    Agora multiplicamos:
B\,dz = (u+i v)(dx + i\,dy).
Expandindo e recolhendo parte real e imaginária:
B\,dz = (u\,dx - v\,dy) + i\,(v\,dx + u\,dy).
Portanto a integral complexa ao longo de C separa-se em duas integrais reais:
\oint_C B\,dz = \oint_C (u\,dx - v\,dy) \;+\; i \oint_C (v\,dx + u\,dy).

Passo 3

Lembrar e escrever o Teorema de Green na forma usada aqui.
O Teorema de Green (versão clássica) diz que, para P(x,y),Q(x,y) com derivadas parciais contínuas em \mathcal{R} e C=\partial\mathcal{R} orientada positivamente,
\oint_C P\,dx + Q\,dy \;=\; \iint_{\mathcal{R}} \left(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}\right)\,dx\,dy.
Vamos aplicar essa fórmula às duas integrais reais obtidas no passo anterior, escolhendo adequadamente P e Q em cada caso.

Passo 4

Aplicar Green à primeira integral \oint_C (u\,dx - v\,dy).
Aqui tomamos P_1 = u e Q_1 = -v. Pelo Teorema de Green,
\oint_C (u\,dx - v\,dy) = \iint_{\mathcal{R}} \left(\frac{\partial(-v)}{\partial x} - \frac{\partial u}{\partial y}\right)\,dx\,dy = \iint_{\mathcal{R}} \big(-v_x - u_y\big)\,dx\,dy,
onde escrevi u_x=\dfrac{\partial u}{\partial x}, u_y=\dfrac{\partial u}{\partial y}, v_x=\dfrac{\partial v}{\partial x}, etc.
Agora aplicar Green à segunda integral \oint_C (v\,dx + u\,dy).
Aqui tomamos P_2 = v e Q_2 = u. Pelo Teorema de Green,
\oint_C (v\,dx + u\,dy) = \iint_{\mathcal{R}} \left(\frac{\partial u}{\partial x} - \frac{\partial v}{\partial y}\right)\,dx\,dy = \iint_{\mathcal{R}} \big(u_x - v_y\big)\,dx\,dy.

Passo 5

Reunir as duas contribuições para voltar à integral complexa.
Usando os resultados dos passos anteriores:
\oint_C B\,dz = \iint_{\mathcal{R}} \big(-v_x - u_y\big)\,dx\,dy \;+\; i \iint_{\mathcal{R}} \big(u_x - v_y\big)\,dx\,dy.
Como as integrais duplas têm a mesma região, podemos juntar:
\oint_C B\,dz = \iint_{\mathcal{R}} \Big[(-v_x - u_y) + i(u_x - v_y)\Big]\,dx\,dy.

Passo 6

Introduzir a derivada de Wirtinger \dfrac{\partial}{\partial \bar z} e relacioná-la com u e v.
A definição conveniente (derivada de Wirtinger) é
\frac{\partial}{\partial \bar z} \;=\; \frac{1}{2}\Big(\frac{\partial}{\partial x} + i\frac{\partial}{\partial y}\Big).
Aplicando essa definição a B=u+i v obtemos
\frac{\partial B}{\partial \bar z} = \frac{1}{2}\Big(B_x + i B_y\Big) = \frac{1}{2}\Big((u_x + i v_x) + i(u_y + i v_y)\Big).
Calculemos com cuidado a soma interior:
(u_x + i v_x) + i(u_y + i v_y) = (u_x - v_y) + i(v_x + u_y).
Portanto
\frac{\partial B}{\partial \bar z} = \frac{1}{2}\big[(u_x - v_y) + i(v_x + u_y)\big].

Passo 7

Mostrar que o integrando obtido em

Passo 8

Multiplicando por 2i a expressão de \dfrac{\partial B}{\partial \bar z}:
2i\frac{\partial B}{\partial \bar z} = 2i\cdot\frac{1}{2}\big[(u_x - v_y) + i(v_x + u_y)\big] = i(u_x - v_y) + i^2(v_x + u_y).
Como i^2=-1, isso dá
2i\frac{\partial B}{\partial \bar z} = (-v_x - u_y) + i(u_x - v_y),
que é exatamente o integrando que apareceu em

Passo 9

(-v_x - u_y) + i(u_x - v_y) = 2i\frac{\partial B}{\partial \bar z}.

Passo 10

Concluir a prova substituindo na integral dupla.
A igualdade do passo anterior permite escrever
\oint_C B\,dz = \iint_{\mathcal{R}} \Big[(-v_x - u_y) + i(u_x - v_y)\Big]\,dx\,dy = \iint_{\mathcal{R}} 2i\frac{\partial B}{\partial \bar z}\,dx\,dy.
Assim obtemos exatamente a fórmula desejada:
\oint_{C} B(z,\bar{z})\,dz = 2 i \iint_{\mathcal{R}} \frac{\partial B}{\partial \bar{z}}\,dx\,dy.

Resposta

\oint_{C} B(z,\bar{z})\,dz = 2 i \iint_{\mathcal{R}} \frac{\partial B}{\partial \bar{z}}\,dx\,dy

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