Determine o trabalho realizado pela força
ao mover uma partícula ao longo da curva
, nos seguintes casos:
obtida como intersecção da superfície esférica
com o plano
orientada no sentido anti-horário.
Passo 1
O enunciado pede: calcular o trabalho realizado pela força
ao mover uma partícula ao longo da curva
, onde
-
. -
é a curva fechada dada pela intersecção da esfera com o plano . - A curva
está orientada no sentido anti-horário (vamos interpretar isso como anti-horário visto a partir da direção do vetor normal ao plano que escolhermos, e explico isso adiante).
O que precisamos calcular é o trabalho
ou seja, a integral de linha do campo vetorial
ao longo da curva fechada
.
Passo 2
Escolha do método e ideia principal.
- Definição útil: o trabalho (integral de linha) de um campo
ao longo de uma curva parametrizada por , , é
Vou usar parametrização direta da curva
. Esse é o método mais direto e elemental: achar uma parametrização de
, calcular
, avaliar
ao longo da parametrização e integrar o produto escalar.
Observação alternativa (não usada no cálculo principal): poderíamos aplicar o teorema de Stokes transformando a integral de linha numa integral de superfície do rotor
. Isso também funciona, mas a parametrização do círculo na interseção é direta e simples aqui, então sigo com a parametrização.
Passo 3
Geometria da curva e escolha de base no plano.
- O plano é dado por
. Uma normal ao plano é
pois a equação do plano pode ser escrita
.
-
A interseção com a esfera centrada na origem com raio
(pois ) é um círculo de raio no próprio plano (o plano passa pela origem, logo a distância do centro ao plano é zero e o círculo resultante tem raio igual ao raio da esfera). -
Vou construir uma base ortonormal
do plano para parametrizar o círculo: - Note que o vetor
(direção dos ) satisfaz a equação do plano (colocando ), então pertence ao plano e tem norma . - Para obter
perpendicular a e que também pertença ao plano, calculei o produto vetorial : A norma desse vetor é , então o vetor unitário é - Verificação rápida:
e . Assim é uma base ortonormal do plano.
- Note que o vetor
Passo 4
Parametrização do círculo
.
Usando a base ortonormal
e raio
, uma parametrização natural é
Escrevendo as componentes:
Verificações rápidas:
- Satisfaz o plano:
. - Satisfaz a esfera:
.
Portanto essa parametrização descreve exatamente
.
Passo 5
Interpretação da orientação anti-horária e relação com
crescente.
- A parametrização
com aumentando de a descreve uma rotação de para no plano. Pelo produto vetorial,
ou seja,
tem a mesma direção do normal
. Pela regra da mão direita, quando se olha na direção do vetor normal
, o sentido dado por
crescente é anti-horário. Logo a parametrização com
crescente já está de acordo com a orientação pedida (anti-horária vista da direção de
). Assim usaremos
de
a
.
Passo 6
Cálculo de
.
Derivando componente a componente:
Passo 7
Avaliar o campo
ao longo da curva.
Lembrando
, substituindo
obtemos
Passo 8
Produto escalar
.
Calcule termo a termo:
Passo 9
Integrar de
a
para obter o trabalho.
O trabalho é
Agora usamos integrais trigonométricas básicas:
-
(porque média de e ao longo de um período é , multiplicado por dá ). -
.
Portanto