Determine o trabalho realizado pela força F ao mover uma partícula ao longo da curva \gamma, nos seguintes casos:
F(x, y, z)=(y, 2, x), \gamma obtida como intersecção da superfície esférica x^{2}+ y^{2}+z^{2}=16 com o plano z=\sqrt{3} y orientada no sentido anti-horário.

Passo 1

O enunciado pede: calcular o trabalho realizado pela força F ao mover uma partícula ao longo da curva \gamma, onde
  • F(x,y,z) = (y,\,2,\,x).
  • \gamma é a curva fechada dada pela intersecção da esfera x^{2}+y^{2}+z^{2}=16 com o plano z=\sqrt{3}\,y.
  • A curva \gamma está orientada no sentido anti-horário (vamos interpretar isso como anti-horário visto a partir da direção do vetor normal ao plano que escolhermos, e explico isso adiante).
O que precisamos calcular é o trabalho
\oint_{\gamma} F\cdot \mathrm{d}r,
ou seja, a integral de linha do campo vetorial F ao longo da curva fechada \gamma.

Passo 2

Escolha do método e ideia principal.
  • Definição útil: o trabalho (integral de linha) de um campo F ao longo de uma curva parametrizada por r(t), a\le t\le b, é
\int_a^b F\big(r(t)\big)\cdot r'(t)\,\mathrm{d}t.
Vou usar parametrização direta da curva \gamma. Esse é o método mais direto e elemental: achar uma parametrização de \gamma, calcular r'(t), avaliar F ao longo da parametrização e integrar o produto escalar.
Observação alternativa (não usada no cálculo principal): poderíamos aplicar o teorema de Stokes transformando a integral de linha numa integral de superfície do rotor \nabla\times F. Isso também funciona, mas a parametrização do círculo na interseção é direta e simples aqui, então sigo com a parametrização.

Passo 3

Geometria da curva e escolha de base no plano.
  • O plano é dado por z=\sqrt{3}\,y. Uma normal ao plano é
N=(0,-\sqrt{3},1),
pois a equação do plano pode ser escrita 0\cdot x -\sqrt{3}\,y + 1\cdot z = 0.
  • A interseção com a esfera centrada na origem com raio 4 (pois x^2+y^2+z^2=16) é um círculo de raio 4 no próprio plano (o plano passa pela origem, logo a distância do centro ao plano é zero e o círculo resultante tem raio igual ao raio da esfera).
  • Vou construir uma base ortonormal \{e_1,e_2\} do plano para parametrizar o círculo:
    • Note que o vetor e_1=(1,0,0) (direção dos x) satisfaz a equação do plano (colocando y=0, z=0), então e_1 pertence ao plano e tem norma 1.
    • Para obter e_2 perpendicular a e_1 e que também pertença ao plano, calculei o produto vetorial N\times e_1: N\times e_1 = (0,-\sqrt{3},1)\times(1,0,0) = (0,1,\sqrt{3}).A norma desse vetor é \sqrt{1+3}=2, então o vetor unitário é e_2=\frac{1}{2}(0,1,\sqrt{3}) = \bigl(0,\tfrac{1}{2},\tfrac{\sqrt{3}}{2}\bigr).
    • Verificação rápida: e_1\cdot e_2 = 0 e \|e_2\|=1. Assim \{e_1,e_2\} é uma base ortonormal do plano.

Passo 4

Parametrização do círculo \gamma.
Usando a base ortonormal \{e_1,e_2\} e raio 4, uma parametrização natural é
r(\theta) = 4\bigl(\cos\theta\,e_1 + \sin\theta\,e_2\bigr),\qquad 0\le\theta\le 2\pi.
Escrevendo as componentes:
r(\theta) = \bigl(4\cos\theta,\; 4\cdot\tfrac{1}{2}\sin\theta,\; 4\cdot\tfrac{\sqrt{3}}{2}\sin\theta\bigr) = \bigl(4\cos\theta,\; 2\sin\theta,\; 2\sqrt{3}\sin\theta\bigr).
Verificações rápidas:
  • Satisfaz o plano: z(\theta)=2\sqrt{3}\sin\theta = \sqrt{3}\,(2\sin\theta)=\sqrt{3}\,y(\theta).
  • Satisfaz a esfera: x^2+y^2+z^2 = 16\cos^2\theta + 4\sin^2\theta + 12\sin^2\theta = 16(\cos^2\theta+\sin^2\theta)=16.
Portanto essa parametrização descreve exatamente \gamma.

Passo 5

Interpretação da orientação anti-horária e relação com \theta crescente.
  • A parametrização r(\theta)=4(\cos\theta\,e_1+\sin\theta\,e_2) com \theta aumentando de 0 a 2\pi descreve uma rotação de e_1 para e_2 no plano. Pelo produto vetorial,
e_1\times e_2 = \frac{1}{2}(0,-\sqrt{3},1)=\frac{1}{2}N,
ou seja, e_1\times e_2 tem a mesma direção do normal N. Pela regra da mão direita, quando se olha na direção do vetor normal N, o sentido dado por \theta crescente é anti-horário. Logo a parametrização com \theta crescente já está de acordo com a orientação pedida (anti-horária vista da direção de N). Assim usaremos \theta de 0 a 2\pi.

Passo 6

Cálculo de r'(\theta).
Derivando componente a componente:
r'(\theta) = \bigl(-4\sin\theta,\; 2\cos\theta,\; 2\sqrt{3}\cos\theta\bigr).

Passo 7

Avaliar o campo F ao longo da curva.
Lembrando F(x,y,z)=(y,\,2,\,x), substituindo r(\theta) obtemos
F\bigl(r(\theta)\bigr) = \bigl(y(\theta),\; 2,\; x(\theta)\bigr) = \bigl(2\sin\theta,\; 2,\; 4\cos\theta\bigr).

Passo 8

Produto escalar F(r(\theta))\cdot r'(\theta).
Calcule termo a termo:
\begin{aligned} F\bigl(r(\theta)\bigr)\cdot r'(\theta) &= (2\sin\theta)(-4\sin\theta) + 2\cdot(2\cos\theta) + (4\cos\theta)(2\sqrt{3}\cos\theta)\\[6pt] &= -8\sin^{2}\theta + 4\cos\theta + 8\sqrt{3}\,\cos^{2}\theta. \end{aligned}]

Passo 9

Integrar de 0 a 2\pi para obter o trabalho.
O trabalho é
\oint_{\gamma} F\cdot \mathrm{d}r = \int_{0}^{2\pi}\bigl(-8\sin^{2}\theta + 4\cos\theta + 8\sqrt{3}\cos^{2}\theta\bigr)\,\mathrm{d}\theta.
Agora usamos integrais trigonométricas básicas:
  • \displaystyle \int_{0}^{2\pi}\sin^{2}\theta\,\mathrm{d}\theta = \int_{0}^{2\pi}\cos^{2}\theta\,\mathrm{d}\theta = \pi (porque média de \sin^2 e \cos^2 ao longo de um período é 1/2, multiplicado por 2\pi \pi).
  • \displaystyle \int_{0}^{2\pi}\cos\theta\,\mathrm{d}\theta = 0.
Portanto
\begin{aligned} \oint_{\gamma} F\cdot \mathrm{d}r &= -8\cdot\pi + 4\cdot 0 + 8\sqrt{3}\cdot\pi\\[4pt] &= 8\pi(\sqrt{3}-1). \end{aligned}]

Resposta

8\pi(\sqrt{3}-1)

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