Exercício 3) Calcule as integrais de linha dadas abaixo:
\int_{\gamma}\left(\frac{x}{x^{2}+y^{2}+z^{2}}\right) d x+\left(\frac{y}{x^{2}+y^{2}+z^{2}}\right) d y+\left(\frac{z}{x^{2}+y^{2}+z^{2}}\right) d z sendo \gamma uma curva qualquer ligando P=(1,0,0) até Q=(1,2,3) .

Passo 1

O enunciado fornece a integral de linha
\int_{\gamma}\left(\frac{x}{x^{2}+y^{2}+z^{2}}\right)dx+\left(\frac{y}{x^{2}+y^{2}+z^{2}}\right)dy+\left(\frac{z}{x^{2}+y^{2}+z^{2}}\right)dz,
onde \gamma é “uma curva qualquer” ligando os pontos P=(1,0,0) e Q=(1,2,3).
As perguntas explícitas são:
  • Calcular o valor dessa integral de linha entre P e Q.
  • Listar as informações dadas relevantes: os componentes do campo vetorial e os pontos finais.
    Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • O campo vetorial é F(x,y,z)=\left(\dfrac{x}{x^{2}+y^{2}+z^{2}},\;\dfrac{y}{x^{2}+y^{2}+z^{2}},\;\dfrac{z}{x^{2}+y^{2}+z^{2}}\right).
  • Os pontos finais são P=(1,0,0) e Q=(1,2,3).
  • A integral está escrita na forma \int_{\gamma}F\cdot d\mathbf r.
    Observação importante (não é resolução ainda): a expressão do campo não está definida em (0,0,0). Portanto a integral só faz sentido se a curva \gamma contiver apenas pontos onde x^{2}+y^{2}+z^{2}\neq0 (ou seja, \gamma não passa pela origem). Vou assumir que a curva considerada evita a origem, como é habitual neste tipo de exercício.

Passo 2

Estratégia escolhida (explicação do porquê, sem entrar em conta final ainda): tentar reconhecer se o campo F é gradiente de alguma função escalar (isto é, se existe \varphi tal que F=\nabla\varphi). Se for o caso, podemos usar o Teorema Fundamental das Integrais de Linha (teorema do gradiente): para um campo gradiente \nabla\varphi e qualquer curva \gamma que ligue P a Q dentro do domínio onde \varphi está definido, vale
\int_{\gamma}\nabla\varphi\cdot d\mathbf r=\varphi(Q)-\varphi(P).
Isso reduz muito o trabalho: evita parametrizar a curva e calcular uma integral complicada. Vou tentar encontrar \varphi e verificar a condição de domínio. Esta é a abordagem natural e direta aqui.

Passo 3

Procurando uma função potencial. Defina r=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}. Uma boa candidata (por experiência com campos que têm componentes x/(r^{2}) etc.) é
\varphi(x,y,z)=\ln r=\ln\!\big(\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}\big).
Agora calculamos as derivadas parciais de \varphi para verificar se \nabla\varphi coincide com F.
Primeiro note que
\frac{\partial}{\partial x}\ln r=\frac{1}{r}\frac{\partial r}{\partial x}.
E
\frac{\partial r}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}=\frac{x}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}}=\frac{x}{r}.
Portanto
\frac{\partial}{\partial x}\ln r=\frac{1}{r}\cdot\frac{x}{r}=\frac{x}{r^{2}}=\frac{x}{x^{2}+y^{2}+z^{2}}.
De forma análoga obtemos as outras derivadas parciais:
\frac{\partial}{\partial y}\ln r=\frac{y}{x^{2}+y^{2}+z^{2}},\qquad \frac{\partial}{\partial z}\ln r=\frac{z}{x^{2}+y^{2}+z^{2}}.
Logo
\nabla\varphi(x,y,z)=\left(\frac{x}{x^{2}+y^{2}+z^{2}},\;\frac{y}{x^{2}+y^{2}+z^{2}},\;\frac{z}{x^{2}+y^{2}+z^{2}}\right)=F(x,y,z).

Passo 4

Conclusão sobre a natureza do campo: F=\nabla\varphi com \varphi=\ln r em todo o domínio onde r>0 (isto é, em \mathbb{R}^{3}\setminus\{(0,0,0)\}). Como a integral foi pedida ao longo de uma curva que liga P a Q e assumimos que a curva não passa pela origem, o Teorema Fundamental das Integrais de Linha aplica-se e a integral é independente do caminho (depende apenas dos pontos finais). Então
\int_{\gamma}F\cdot d\mathbf r=\varphi(Q)-\varphi(P).

Passo 5

Calcular \varphi nos pontos P e Q.
Calcule o módulo (norma) dos pontos:
\|P\|=\sqrt{1^{2}+0^{2}+0^{2}}=\sqrt{1}=1,
\|Q\|=\sqrt{1^{2}+2^{2}+3^{2}}=\sqrt{1+4+9}=\sqrt{14}.
Portanto
\varphi(P)=\ln\|P\|=\ln 1=0,
\varphi(Q)=\ln\|Q\|=\ln\sqrt{14}=\frac{1}{2}\ln 14.

Passo 6

Aplicando o resultado do Passo 4:
\int_{\gamma}\left(\frac{x}{x^{2}+y^{2}+z^{2}}\right)dx+\left(\frac{y}{x^{2}+y^{2}+z^{2}}\right)dy+\left(\frac{z}{x^{2}+y^{2}+z^{2}}\right)dz =\varphi(Q)-\varphi(P)=\frac{1}{2}\ln 14-0=\frac{1}{2}\ln 14.
Comentário final curto e encorajador: pronto — sem precisar parametrizar a curva! A técnica é procurar se o campo é gradiente; quando for, a integral cai como a diferença de uma função potencial nos extremos.

Resposta

\dfrac{1}{2}\ln 14

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