Exercício 3) Calcule as integrais de linha dadas abaixo:
sendo
uma curva qualquer ligando
até
Passo 1
O enunciado fornece a integral de linha
onde
é “uma curva qualquer” ligando os pontos
e
.
As perguntas explícitas são:
As perguntas explícitas são:
- Calcular o valor dessa integral de linha entre
e . - Listar as informações dadas relevantes: os componentes do campo vetorial e os pontos finais.
Informações relevantes extraídas do enunciado: - O campo vetorial é
. - Os pontos finais são
e . - A integral está escrita na forma
.
Observação importante (não é resolução ainda): a expressão do campo não está definida em. Portanto a integral só faz sentido se a curva contiver apenas pontos onde (ou seja, não passa pela origem). Vou assumir que a curva considerada evita a origem, como é habitual neste tipo de exercício.
Passo 2
Estratégia escolhida (explicação do porquê, sem entrar em conta final ainda): tentar reconhecer se o campo
é gradiente de alguma função escalar (isto é, se existe
tal que
). Se for o caso, podemos usar o Teorema Fundamental das Integrais de Linha (teorema do gradiente): para um campo gradiente
e qualquer curva
que ligue
a
dentro do domínio onde
está definido, vale
Isso reduz muito o trabalho: evita parametrizar a curva e calcular uma integral complicada. Vou tentar encontrar
e verificar a condição de domínio. Esta é a abordagem natural e direta aqui.
Passo 3
Procurando uma função potencial. Defina
. Uma boa candidata (por experiência com campos que têm componentes
etc.) é
Agora calculamos as derivadas parciais de
para verificar se
coincide com
.
Primeiro note que
Primeiro note que
E
Portanto
De forma análoga obtemos as outras derivadas parciais:
Logo
Passo 4
Conclusão sobre a natureza do campo:
com
em todo o domínio onde
(isto é, em
). Como a integral foi pedida ao longo de uma curva que liga
a
e assumimos que a curva não passa pela origem, o Teorema Fundamental das Integrais de Linha aplica-se e a integral é independente do caminho (depende apenas dos pontos finais). Então
Passo 5
Calcular
nos pontos
e
.
Calcule o módulo (norma) dos pontos:
Calcule o módulo (norma) dos pontos:
Portanto
Passo 6
Aplicando o resultado do Passo 4:
Comentário final curto e encorajador: pronto — sem precisar parametrizar a curva! A técnica é procurar se o campo é gradiente; quando for, a integral cai como a diferença de uma função potencial nos extremos.