Determine o trabalho realizado pela força F ao mover uma partícula ao longo da curva \gamma, nos seguintes casos: F(x, y)=\left(e^{x}-\frac{y^{3}}{3}, \frac{x^{3}}{3}+e^{y}\right), \gamma=C_{P} e P(t)=( cost, sent ), \forall t \in\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right].
Passo 1
O enunciado pede: determinar o trabalho realizado pela força \,F ao mover uma partícula ao longo da curva \gamma dada por P(t), isto é calcular o integral de linha
W=\int_{\gamma} F\cdot d\mathbf r.
Dados fornecidos:
A força \,F(x,y)=\bigl(e^{x}-\dfrac{y^{3}}{3},\;\dfrac{x^{3}}{3}+e^{y}\bigr).
Pergunta: calcular o trabalho W ao longo dessa curva parametrizada por P(t).
Passo 2
Conceito e fórmula que vou usar (aula rápida): o trabalho realizado por uma força \,F=(P(x,y),Q(x,y)) ao longo de uma curva parametrizada por P(t)=(x(t),y(t)), com t\in[a,b], é dado por
P(x,y) é a primeira componente de F (não confundir com a parametrização),
Q(x,y) é a segunda componente de F,
x'(t) e y'(t) são as derivadas temporais das coordenadas da curva.
Antes de integrar, é útil checar se o campo é conservativo (gradiente de uma função potencial), porque aí o trabalho seria simplesmente diferença de potenciais nos extremos (muito mais curto). Para um campo plano, uma condição necessária simples é \partial P/\partial y=\partial Q/\partial x. Vou verificar isso.
Passo 3
Cálculo das derivadas parciais (checagem de conservatividade):
Como -y^{2} e x^{2} não são iguais em geral, o campo \,F não é conservativo no domínio geral. Portanto não posso usar potencial; é preciso calcular a integral de linha pela parametrização direta.