Determine e trace a convolução dos dois sinais a seguir:
Passo 1
Beleza, o problema pede pra calcular a convolução de
O conteúdo é “convolução em tempo contínuo” e o que precisamos lembrar é:
- definição de convolução
y(t)=integral-infty^inftyx(tau),h(t-tau),dtau;
2) propriedade do delta (sifting):
integral x(tau),de
Passo 2
Vamos aplicar direto:
$$y(t)=\int x(\tau)\big[\delta(t-\tau+2)+2,\delta(t-\tau+1)\big],d\tau
= x(t+2)+2,x(t+1).$$
Passo 3
Agora a gente precisa achar
x(t+2) em função de
t . Basta trocar
tmapsto t+2 na definição de
x :
Passo 4
Mesma coisa para
x(t+1) : trocamos
tmapsto t+1 :
Passo 5
Finalmente, somamos
em cada intervalo:
- Para
- Para
- Para
:-1< t<=0 y(t)=(-t)+2,(t+2) = -t +2t+4 = t+4
- Para :0< t<=1
y(t)=0 +2,(1-t) = 2-2t
Resposta
A convolução é
O gráfico fica zero até
t=-2 , sobe com inclinação 1 de
t=-2 a
-1 , depois “descola” e sobe com inclinação 1 de
-1 a 0 a um nível maior, depois cai de forma linear (inclinação
-2 ) de 0 a 1, e fica zero depois de 1.