Determine e trace a convolução dos dois sinais a seguir:
x(t)=ll t+1, & 0 <= t <= 1 2-t, & 1á

Passo 1

Beleza, o problema pede pra calcular a convolução de
x(t)=t+1,&0<= t<=12-t,&1á
O conteúdo é “convolução em tempo contínuo” e o que precisamos lembrar é:
  1. definição de convolução y(t)=integral-infty^inftyx(tau),h(t-tau),dtau;
    2) propriedade do delta (sifting):
    integral x(tau),de

Passo 2

Vamos aplicar direto:
$$y(t)=\int x(\tau)\big[\delta(t-\tau+2)+2,\delta(t-\tau+1)\big],d\tau
= x(t+2)+2,x(t+1).$$

Passo 3

Agora a gente precisa achar x(t+2) em função de t. Basta trocar tmapsto t+2 na definição de x:
x(t+2)= (t+2)+1 = t+3, & 0<= t+2<=1 Leftrightarrow -2<= t<= -1, 2-(t+2) = -t, & 1< t+2<=2 Leftrightarrow -1< t<=0, 0, & caso contrário á

Passo 4

Mesma coisa para x(t+1): trocamos tmapsto t+1:
x(t+1)= (t+1)+1 = t+2, & 0<= t+1<=1 Leftrightarrow -1<= t<=0, 2-(t+1) = 1-t, & 1< t+1<=2 Leftrightarrow 0< t<=1, 0, & caso contrário á

Passo 5

Finalmente, somamos
y(t)=x(t+2)+2,x(t+1)
em cada intervalo:
- Para t<-2 ou t>1: x(t+2)=0 e x(t+1)=0implies y(t)=0.
- Para -2<= t<= -1:
y(t)=(t+3)+2cdot0 = t+3
  • Para -1< t<=0: y(t)=(-t)+2,(t+2) = -t +2t+4 = t+4
    - Para 0< t<=1:
    y(t)=0 +2,(1-t) = 2-2t

Resposta

A convolução é
y(t)=l(x*hr)(t)= 0, & t< -2, t+3, & -2<= t<= -1, t+4, & -1< t<= 0, 2-2t, & 0< t<=1, 0, & t>1
O gráfico fica zero até t=-2, sobe com inclinação 1 de t=-2 a -1, depois “descola” e sobe com inclinação 1 de -1 a 0 a um nível maior, depois cai de forma linear (inclinação -2) de 0 a 1, e fica zero depois de 1.

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