Determine as trajetórias ortogonais da família de curvas:
y=tg x+a

Passo 1

O enunciado dá a família de curvas
y=tan x + a
onde a é o parâmetro, e pede as trajetórias ortogonais. Isso envolve achar a derivada da família dada, usar a condição de ortogonalidade mperp=-1/m e integrar para obter a família ortogonal.

Passo 2

Da família y=tan x + a temos
dydx=sec^2 x

Passo 3

Para as trajetórias ortogonais o coeficiente angular deve satisfazer
dydx|perp=-1sec^2 x=-cos^2 x
Logo a equação diferencial das ortogonais é
dydx=-cos^2 x

Passo 4

Separamos variáveis e integramos:
dy=-cos^2 x,dx Longrightarrow y=-integralcos^2 x,dx + C
Usando
cos^2 x=1+cos2x2 Longrightarrow integralcos^2 x,dx =integral1+cos2x2,dx =x2+sin2x4,
segue
y=-l(x2+sin2x4r)+C Longrightarrow y+x2+sin2x4=C

Resposta

As trajetórias ortogonais são dadas pela família
y+x2+sin2x4=C,
onde C é a constante de integração.

Exercícios relacionados