Determine as trajetórias ortogonais da família de curvas:
y=(x-a)^3

Passo 1

O enunciado apresenta a família de curvas ,y=(x-a)^3, onde a é um parâmetro. Precisamos determinar as trajetórias ortogonais, isto é, a família de curvas que intercepta cada curva dada formando ângulo reto. Vamos usar:
  1. Eliminar o parâmetro para obter a equação diferencial da família original;
  2. Trocar o coeficiente angular pela inclinação ortogonal;
  3. Resolver a equação diferencial resultante.

Passo 2

Derivando ,y=(x-a)^3 em relação a x, obtemos
dydx = 3(x-a)^2
Da própria equação y=(x-a)^3 temos (x-a)=y^1/3. Substituindo na derivada:
dydx = 3,y^2/3

Passo 3

Para trajetórias ortogonais, o produto das inclinações é -1. Como a inclinação da família original é
m = 3,y^2/3,
a inclinação ortogonal será
mperp = -1m = -13,y^2/3
Logo, a equação diferencial que define as trajetórias ortogonais é
dydx = -13,y^2/3

Passo 4

Essa equação é separável. Reescrevemos
y^2/3,dy = -13,dx
e integramos ambos os lados:
integral y^2/3,dy = integral -13,dx ;Longrightarrow; 35,y^5/3 = -13,x + C
Multiplicando por 15, obtemos
9,y^5/3 = -5,x + C',
onde C' é constante arbitrária.

Resposta

As trajetórias ortogonais são dadas implicitamente por
9,y^5/3 + 5,x = C,
com C constante.

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