Determine as trajetórias ortogonais da família de curvas:
Passo 1
O enunciado apresenta a família de curvas
, onde
é um parâmetro. Precisamos determinar as trajetórias ortogonais, isto é, a família de curvas que intercepta cada curva dada formando ângulo reto. Vamos usar:
- Eliminar o parâmetro para obter a equação diferencial da família original;
- Trocar o coeficiente angular pela inclinação ortogonal;
- Resolver a equação diferencial resultante.
Passo 2
Derivando
em relação a
, obtemos
Da própria equação
temos
. Substituindo na derivada:
Passo 3
Para trajetórias ortogonais, o produto das inclinações é
. Como a inclinação da família original é
a inclinação ortogonal será
Logo, a equação diferencial que define as trajetórias ortogonais é
Passo 4
Essa equação é separável. Reescrevemos
e integramos ambos os lados:
Multiplicando por
, obtemos
onde
é constante arbitrária.
Resposta
As trajetórias ortogonais são dadas implicitamente por
com
constante.