Exemplo 8.3. Determinar os valores máximo e mínimo de
, para
.
Solução. Estamos procurando os valores máximo e mínimo de f no intervalo
. Temos
, e portanto
se e somente se
.
Agora,
e
. Portanto,
não tem valor máximo em
.
Temos ainda
e
. Assim,
é ponto de mínimo local de f. Como
não tem outros pontos críticos, 1 é o ponto de mínimo global de
, sendo
o valor mínimo de
no intervalo
.
Solução. Estamos procurando os valores máximo e mínimo de f no intervalo
Passo 1
O enunciado pede para determinar os valores máximo e mínimo de
no domínio
.
O conteúdo usado será otimização de funções de uma variável pelo método das derivadas: encontramos derivada, pontos críticos, analisamos o comportamento nas “fronteiras” do domínio e aplicamos o teste da segunda derivada.
O conteúdo usado será otimização de funções de uma variável pelo método das derivadas: encontramos derivada, pontos críticos, analisamos o comportamento nas “fronteiras” do domínio e aplicamos o teste da segunda derivada.
Passo 2
Calculamos a derivada primeira de
:
Para achar os pontos críticos, resolvemos
(como
, só vale
).
Passo 3
Analisamos o comportamento de
nas “fronteiras” do domínio:
Como ambas as extremidades vão a
, não existe valor máximo global em
.
Passo 4
Para classificar o ponto crítico
, usamos a segunda derivada:
que é positiva para todo
. Em particular,
logo
é ponto de mínimo local. Como não há outros críticos e nas fronteiras
, esse mínimo é global.
Resposta
O valor mínimo global é
não há valor máximo em
.