Exemplo 8.3. Determinar os valores máximo e mínimo de f(x)=x+1x, para x>0.
Solução. Estamos procurando os valores máximo e mínimo de f no intervalo ] 0,+infty[. Temos f^prime(x)=1-1x^2, e portanto f^prime(x)=0(com x>0) se e somente se x=1.
Agora, lim x 0^+ f(x)=0+10^+=+infty e lim x +infty f(x)=+infty. Portanto, f não tem valor máximo em ] 0,+infty[.
Temos ainda f^prime prime(x)=2x^3 e f^prime prime(1)>0. Assim, x1=1 é ponto de mínimo local de f. Como f não tem outros pontos críticos, 1 é o ponto de mínimo global de f, sendo f(1)=2 o valor mínimo de f no intervalo ] 0,+infty[.

Passo 1

O enunciado pede para determinar os valores máximo e mínimo de
f(x)=x+1x
no domínio (0,+infty).
O conteúdo usado será otimização de funções de uma variável pelo método das derivadas: encontramos derivada, pontos críticos, analisamos o comportamento nas “fronteiras” do domínio e aplicamos o teste da segunda derivada.

Passo 2

Calculamos a derivada primeira de f:
f'(x)=1 - 1x^2
Para achar os pontos críticos, resolvemos
f'(x)=0 Longrightarrow 1 - 1x^2=0 Longrightarrow x^2=1 Longrightarrow x=1
(como x>0, só vale x=1).

Passo 3

Analisamos o comportamento de f nas “fronteiras” do domínio:
limxto0^+f(x) =limxto0^+l(x+1xr) =+infty,
limxto+inftyf(x) =limxto+inftyl(x+1xr) =+infty
Como ambas as extremidades vão a +infty, não existe valor máximo global em (0,+infty).

Passo 4

Para classificar o ponto crítico x=1, usamos a segunda derivada:
f''(x) =2x^3,
que é positiva para todo x>0. Em particular,
f''(1)=2>0,
logo x=1 é ponto de mínimo local. Como não há outros críticos e nas fronteiras fto+infty, esse mínimo é global.

Resposta

O valor mínimo global é
f(1)=1+11=2,
não há valor máximo em (0,+infty).

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