Determine as trajetórias ortogonais da família de curvas:
y^2=4 a x

Passo 1

O enunciado apresenta a família de parábolas
y^2 = 4a x
com parâmetro a. Queremos determinar as trajetórias ortogonais, ou seja, as curvas que interceptam ortogonalmente todas essas parábolas. Para isso, usamos o fato de que, se dydx é o declive da família dada, então o declive das ortogonais satisfaz
dydx|ort;=;-1dydx,

Passo 2

Calculamos o declive da família original diferenciando implicitamente em relação a x:
2y,dydx=4a
dydx=2ay
Em seguida, eliminamos o parâmetro a usando a=y^24x, obtendo
dydx=2cdoty^24xy=y2x

Passo 3

O declive das trajetórias ortogonais deve ser
dydx|ort=-1y2x=-2xy
Isso leva à equação diferencial separável
dydx=-2xy

Passo 4

Separamos variáveis e integramos:
y,dy=-2x,dx
integral y,dy=-2integral x,dx
y^22=-x^2+C1
Multiplicando por 2 e renomeando a constante, obtemos
y^2+2x^2=C

Resposta

y^2 + 2x^2 = C

Exercícios relacionados