Determine as trajetórias ortogonais da família de curvas:
Passo 1
O enunciado apresenta a família de parábolas
com parâmetro . Queremos determinar as trajetórias ortogonais, ou seja, as curvas que interceptam ortogonalmente todas essas parábolas. Para isso, usamos o fato de que, se é o declive da família dada, então o declive das ortogonais satisfaz
Passo 2
Calculamos o declive da família original diferenciando implicitamente em relação a x:
2y,dydx=4a
dydx=2ay
Em seguida, eliminamos o parâmetro a usando a=y^24x, obtendo
dydx=2cdoty^24xy=y2x
Passo 3
O declive das trajetórias ortogonais deve ser
dydx|ort=-1y2x=-2xy
Isso leva à equação diferencial separável
dydx=-2xy
Passo 4
Separamos variáveis e integramos:
y,dy=-2x,dx
integral y,dy=-2integral x,dx
y^22=-x^2+C1
Multiplicando por 2 e renomeando a constante, obtemos