Represente graficamente o domínio das funções
4 x^2+y^2+z^2=1, z <= 0

Passo 1

O enunciado pede para representar o conjunto
(x,y,z)inR^3mid 4x^2+y^2+z^2=1,;z<=0.
O conteúdo é superfícies quádricas, em particular um elipsoide, e vamos precisar identificar seus semi-eixos e depois impor a condição z<=0 para obter o semielipsoide inferior.

Passo 2

Escrevemos a equação em forma padrão de elipsoide dividindo ambos os lados por 1:
x^2tfrac14+y^21+z^21=1
Daí vemos que os semi-eixos são
a=tfrac12 ao longo de x,
b=1 ao longo de y e
c=1 ao longo de z.

Passo 3

Sem a restrição em z, teríamos um elipsoide completo centrado na origem, que intercepta os eixos em
(x,y,z)=(pmtfrac12,0,0),;(0,pm1,0),;(0,0,pm1)
A condição adicional z<=0 corta esse elipsoide exatamente na “linha do equador” z=0, de modo que só permanece a parte inferior do elipsoide, ou seja, o semielipsoide voltado para baixo.

Passo 4

Na “borda” de corte z=0 ficamos com a curva plana
4x^2+y^2=1, z=0,
que é uma elipse de semi-eixos tfrac12 em x e 1 em y.

Passo 5

Portanto, graficamente temos um semielipsoide apoiado sobre o plano z=0, com topo na linha elíptica 4x^2+y^2=1 em z=0 e fundo na face pontiaguda em (0,0,-1).

Resposta

O domínio é o semielipsoide inferior definido por
x^2tfrac14+y^21+z^21=1, z<=0,
ou seja, a metade de baixo do elipsoide de semi-eixos tfrac12, 1 e 1.

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