(a) Use a série geométrica para mostrar que
, para
.
(b) Integre a função anterior para encontrar a série de potências centrada em zero da função
.
(c) Expresse a função
como uma série de potências e determine o raio de convergência.
(b) Integre a função anterior para encontrar a série de potências centrada em zero da função
(c) Expresse a função
Passo 1
O enunciado pede três coisas ligadas a séries de potências centrais em zero. Na parte (a) vamos usar a série geométrica para desenvolver
em potências de
. Na parte (b) vamos integrar termo a termo esse desenvolvimento para obter a série de
. Na parte (c) usamos a expansão de
e sua derivada para escrever
como série de potências e determinar seu raio de convergência.
Passo 2
Para (a) lembramos que, se
,
Basta agora tomar
. Como
implica
, obtemos
Passo 3
Para (b) note que
Como já temos
para
, podemos integrar termo a termo:
Isso vale para
.
Passo 4
Para (c) começamos da série conhecida
Derivando ambos os lados em relação a
, o lado esquerdo vira
e o direito
Logo
com raio de convergência
.
Resposta
(a)
\n
(b) \n
(c) com raio de convergência
.
(b)
(c)