(a) Use a série geométrica para mostrar que 11+x^2=sumn=0^infty(-1)^n x^2 n, para |x|<1.
(b) Integre a função anterior para encontrar a série de potências centrada em zero da função artg(x).
(c) Expresse a função f(x)=1(1-x)^2 como uma série de potências e determine o raio de convergência.

Passo 1

O enunciado pede três coisas ligadas a séries de potências centrais em zero. Na parte (a) vamos usar a série geométrica para desenvolver 11+x^2 em potências de x. Na parte (b) vamos integrar termo a termo esse desenvolvimento para obter a série de artg(x). Na parte (c) usamos a expansão de 11-x e sua derivada para escrever 1(1-x)^2 como série de potências e determinar seu raio de convergência.

Passo 2

Para (a) lembramos que, se |r|<1,
sumn=0^inftyr^n=11-r
Basta agora tomar r=-x^2. Como |x|<1 implica |r|=|x|^2<1, obtemos
sumn=0^infty(-x^2)^n =sumn=0^infty(-1)^nx^2n =11-(-x^2) =11+x^2

Passo 3

Para (b) note que
artg(x)=integral0^x11+t^2,dt
Como já temos tfrac11+t^2=sumn=0^infty(-1)^nt^2n para |t|<1, podemos integrar termo a termo:
artg(x) =integral0^xsumn=0^infty(-1)^nt^2n,dt =sumn=0^infty(-1)^nintegral0^xt^2n,dt =sumn=0^infty(-1)^nx^2n+12n+1
Isso vale para |x|<1.

Passo 4

Para (c) começamos da série conhecida
11-x=sumn=0^inftyx^n, |x|<1
Derivando ambos os lados em relação a x, o lado esquerdo vira 1(1-x)^2 e o direito
ddxsumn=0^inftyx^n =sumn=0^inftyn,x^n-1 =summ=0^infty(m+1),x^m (trocando m=n-1)
Logo
1(1-x)^2 =summ=0^infty(m+1),x^m,
com raio de convergência 1.

Resposta

(a) 11+x^2=sumn=0^infty(-1)^nx^2n, |x|<1\n
(b) artg(x)=sumn=0^infty(-1)^nx^2n+12n+1, |x|<1\n
(c) 1(1-x)^2=sumn=0^infty(n+1)x^n, com raio de convergência 1.

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