Determine as trajetórias ortogonais às famílias abaixo, sendo 
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para determinar as trajetórias ortogonais à família de curvas dada por 
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar que trajetórias ortogonais são curvas que se cruzam formando um ângulo de 90 graus com as curvas da família inicial. Para encontrá-las, precisamos derivar a equação da família de curvas para obter a inclinação (derivada) de cada curva em termos de 
Passo 3
Vamos começar diferenciando a função 
Passo 4
Agora, para encontrar as trajetórias ortogonais, precisamos das inclinações das curvas que são recíprocas negativas das inclinações das curvas originais. Portanto, a derivada das trajetórias ortogonais será:
Passo 5
No entanto, queremos eliminar o parâmetro 
Passo 6
Substituindo 
Passo 7
Agora, temos uma equação diferencial separável:
Vamos separar as variáveis 
Passo 8
Reorganizando para integrar:
Integrando ambos os lados:
Como 
No entanto, essa forma ainda é complicada para integrar diretamente. Vamos tentar uma substituição diferente.
Passo 9
Retornando à equação separável:
Podemos reescrever como:
Agora, as variáveis estão separadas e podemos integrar ambos os lados:
Passo 10
Integrando:
Onde 
Passo 11
Multiplicando ambos os lados por -1 para simplificar:
Onde 
Passo 12
Podemos reescrever a equação de forma mais elegante:
Passo 13
Finalmente, isolando 
Resposta
As trajetórias ortogonais à família dada são definidas por
onde 
