Determine as trajetórias ortogonais às famílias abaixo, sendo b \in \Re
c) y=b e^{-x}

Passo 1

O enunciado dá a família de curvas
y = b\,e^{-x},\quad b\in\mathbb{R},
e pede as trajetórias ortogonais. Vamos derivar em relação a x para obter a inclinação de cada curva, trocar pelo negativo recíproco e resolver a ODE resultante.

Passo 2

Derivando y = b\,e^{-x} em relação a x obtemos
\frac{dy}{dx} = -b\,e^{-x} = -y.

Passo 3

A inclinação das trajetórias ortogonais é o negativo recíproco de \frac{dy}{dx}. Logo,
\frac{dy}{dx}\Big|_{\text{orto}} = -\frac{1}{-y} = \frac{1}{y}.

Passo 4

Resolvendo por separação de variáveis a equação
\frac{dy}{dx} = \frac{1}{y}
fazemos
y\,dy = dx
e integrando
\int y\,dy = \int dx
\frac{y^2}{2} = x + C.

Resposta

y^2 = 2x + C,\quad C\in\mathbb{R}.

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