Determine se T é uma transformação linear.
T: M_{22} \rightharrow M_{22}definida por T\left[\begin{array}{ll}a & b \\\ c & d\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}1 & a-d \\\ b-c & 1\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado dá a transformação T: M_{22}\to M_{22} definida por
T\!\left(\begin{pmatrix}a & b\\[4pt] c & d\end{pmatrix}\right) = \begin{pmatrix}1 & a-d\\[4pt] b-c & 1\end{pmatrix},
onde a,b,c,d são entradas reais de uma matriz 2\times2. A pergunta é: determinar se T é uma transformação linear (ou seja, se preserva soma e multiplicação por escalares).]

Passo 2

Lembrete importante sobre o que significa ser linear. Uma transformação T entre espaços vetoriais é linear quando, para quaisquer vetores X,Y e qualquer escalar \lambda, vale
T(X+Y)=T(X)+T(Y) \quad\text{e}\quad T(\lambda X)=\lambda\,T(X).
Uma consequência imediata e útil desta definição é que o vetor zero do domínio deve ser enviado no vetor zero do contradomínio. Vou mostrar por que isso é sempre verdade em qualquer transformação linear: seja 0 o zero do domínio e X qualquer vetor; usando homogeneidade com \lambda=0 temos
T(0)=T(0\cdot X)=0\cdot T(X)=0,
ou seja, para qualquer transformação linear T deve ocorrer T(0)=0.

Passo 3

Agora vamos calcular T aplicado à matriz zero de M_{22}. A matriz zero é
0_{2}=\begin{pmatrix}0 & 0\\[4pt] 0 & 0\end{pmatrix}.
Aplicando a definição de T (substituindo a=b=c=d=0) obtemos
T(0_{2})= \begin{pmatrix}1 & 0-0\\[4pt] 0-0 & 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt] 0 & 1\end{pmatrix}.
Observe que o resultado é a matriz identidade I_{2}, e não a matriz zero 0_{2}.]

Passo 4

Comparando com a propriedade necessária para linearidade (ver Passo 2), temos que se T fosse linear deveria satisfazer T(0_{2})=0_{2}. Mas do cálculo no Passo 3 vimos que
T(0_{2})=I_{2}\neq 0_{2}.
Portanto T não satisfaz uma propriedade básica de transformações lineares, logo não é linear. (Isso já é suficiente; não é preciso verificar soma e homogeneidade separadamente.)

Resposta

Não, T não é linear.

Exercícios relacionados