Determine se
é uma transformação linear.
definida por
definida por
Passo 1
O enunciado dá a transformação
definida por
onde
são entradas reais de uma matriz
. A pergunta é: determinar se
é uma transformação linear (ou seja, se preserva soma e multiplicação por escalares).]
Passo 2
Lembrete importante sobre o que significa ser linear. Uma transformação
entre espaços vetoriais é linear quando, para quaisquer vetores
e qualquer escalar
, vale
Uma consequência imediata e útil desta definição é que o vetor zero do domínio deve ser enviado no vetor zero do contradomínio. Vou mostrar por que isso é sempre verdade em qualquer transformação linear: seja
o zero do domínio e
qualquer vetor; usando homogeneidade com
temos
ou seja, para qualquer transformação linear
deve ocorrer
.
Passo 3
Agora vamos calcular
aplicado à matriz zero de
. A matriz zero é
Aplicando a definição de
(substituindo
) obtemos
Observe que o resultado é a matriz identidade
, e não a matriz zero
.]
Passo 4
Comparando com a propriedade necessária para linearidade (ver Passo 2), temos que se
fosse linear deveria satisfazer
. Mas do cálculo no Passo 3 vimos que
Portanto
não satisfaz uma propriedade básica de transformações lineares, logo não é linear. (Isso já é suficiente; não é preciso verificar soma e homogeneidade separadamente.)
Resposta
Não,
não é linear.