Determine se T é uma transformação linear. T: M_{22} \rightharrow M_{22}definida porT\left[\begin{array}{ll}a & b \\\ c & d\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}a+b & 0 \\\\ 0 & c+d\end{array}\right]
Passo 1
O enunciado pede para determinar se T é uma transformação linear.
Dados fornecidos:
T: M_{22} \to M_{22}
T\left[\begin{array}{cc}a & b \\\ c & d\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}a+b & 0 \\\\ 0 & c+d\end{array}\right]
Assumo que os coeficientes a,b,c,d são números reais (ou pertencem a um mesmo corpo), ou seja, estamos tratando o espaço vetorial M_{22} das matrizes 2\times2 sobre \mathbb{R}.
Passo 2
Vamos introduzir notação para trabalhar com matrizes arbitrárias e um escalar qualquer. Seja
X=\begin{pmatrix}a & b\\[4pt] c & d\end{pmatrix}, \qquad Y=\begin{pmatrix}e & f\\[4pt] g & h\end{pmatrix}, \qquad \lambda\in\mathbb{R}.
Aqui a,b,c,d,e,f,g,h são números reais arbitrários. A ideia é verificar as duas propriedades que caracterizam uma transformação linear: aditividade e homogeneidade.]
Passo 3
Definição prática de transformação linear que usaremos:
Uma aplicação T entre espaços vetoriais é linear se, para todo X,Y e todo escalar \lambda,
Agora aplicamos T a X+Y, usando a definição dada no enunciado (a primeira entrada é soma dos dois elementos do canto superior, a entrada inferior direita é soma dos dois do canto inferior, e as outras duas são zero):
Comparando com T(\lambda X) do Passo 7, vemos que são iguais:
T(\lambda X)=\lambda T(X)\quad\text{para todo }\lambda\text{ e todo }X.
Assim a homogeneidade está verificada.]
Passo 9
Como verificamos explicitamente as duas propriedades exigidas (aditividade e homogeneidade) para matrizes arbitrárias X,Y e escalar \lambda, concluímos que T é uma transformação linear. Intuitivamente, cada entrada saída de T é uma combinação linear das entradas de entrada com coeficientes 0 ou 1, e combinações lineares preservam adição e multiplicação por escalar — por isso deu certo.