Determine se T é uma transformação linear.
T: M_{22} \rightharrow M_{22}definida por T\left[\begin{array}{ll}a & b \\\ c & d\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}a+b & 0 \\\\ 0 & c+d\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede para determinar se T é uma transformação linear.
Dados fornecidos:
T: M_{22} \to M_{22}
T\left[\begin{array}{cc}a & b \\\ c & d\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}a+b & 0 \\\\ 0 & c+d\end{array}\right]
Assumo que os coeficientes a,b,c,d são números reais (ou pertencem a um mesmo corpo), ou seja, estamos tratando o espaço vetorial M_{22} das matrizes 2\times2 sobre \mathbb{R}.

Passo 2

Vamos introduzir notação para trabalhar com matrizes arbitrárias e um escalar qualquer. Seja
X=\begin{pmatrix}a & b\\[4pt] c & d\end{pmatrix}, \qquad Y=\begin{pmatrix}e & f\\[4pt] g & h\end{pmatrix}, \qquad \lambda\in\mathbb{R}.
Aqui a,b,c,d,e,f,g,h são números reais arbitrários. A ideia é verificar as duas propriedades que caracterizam uma transformação linear: aditividade e homogeneidade.]

Passo 3

Definição prática de transformação linear que usaremos:
Uma aplicação T entre espaços vetoriais é linear se, para todo X,Y e todo escalar \lambda,
\text{(i)}\quad T(X+Y)=T(X)+T(Y) \qquad\text{e}\qquad \text{(ii)}\quad T(\lambda X)=\lambda\,T(X).
Vou provar (i) e (ii) explicitamente usando as expressões das entradas das matrizes.

Passo 4

Calculemos X+Y. Somando as entradas correspondentes:
X+Y=\begin{pmatrix}a+e & b+f\\[4pt] c+g & d+h\end{pmatrix}.
Agora aplicamos T a X+Y, usando a definição dada no enunciado (a primeira entrada é soma dos dois elementos do canto superior, a entrada inferior direita é soma dos dois do canto inferior, e as outras duas são zero):
T(X+Y)= \left[\begin{array}{cc} (a+e)+(b+f) & 0\\[4pt] 0 & (c+g)+(d+h) \end{array}\right].
Simplificando as somas:
T(X+Y)= \left[\begin{array}{cc} (a+b)+(e+f) & 0\\[4pt] 0 & (c+d)+(g+h) \end{array}\right].]

Passo 5

Calculemos T(X) e T(Y) separadamente, usando a definição:
T(X)=\left[\begin{array}{cc}a+b & 0 \\[4pt] 0 & c+d\end{array}\right], \qquad T(Y)=\left[\begin{array}{cc}e+f & 0 \\[4pt] 0 & g+h\end{array}\right].
Agora somamos T(X)+T(Y):
T(X)+T(Y)= \left[\begin{array}{cc}(a+b)+(e+f) & 0 \\[4pt] 0 & (c+d)+(g+h)\end{array}\right].]

Passo 6

Compare as expressões obtidas em T(X+Y) (Passo 4) e T(X)+T(Y) (Passo 5). Ambas são exatamente
\left[\begin{array}{cc}(a+b)+(e+f) & 0 \\[4pt] 0 & (c+d)+(g+h)\end{array}\right].
Portanto a propriedade de aditividade está verificada:
T(X+Y)=T(X)+T(Y)\quad\text{para todos }X,Y.]

Passo 7

Agora verificamos a homogeneidade. Primeiro calculemos \lambda X:
\lambda X=\begin{pmatrix}\lambda a & \lambda b\\[4pt]\lambda c & \lambda d\end{pmatrix}.
Aplicando T em \lambda X:
T(\lambda X)= \left[\begin{array}{cc}\lambda a+\lambda b & 0\\[4pt] 0 & \lambda c+\lambda d\end{array}\right].
Fatorando \lambda nas somas:
T(\lambda X)= \left[\begin{array}{cc}\lambda(a+b) & 0\\[4pt] 0 & \lambda(c+d)\end{array}\right].]

Passo 8

Calculemos \lambda T(X). Já sabemos que
T(X)=\left[\begin{array}{cc}a+b & 0\\[4pt] 0 & c+d\end{array}\right],
logo
\lambda T(X)= \left[\begin{array}{cc}\lambda(a+b) & 0\\[4pt] 0 & \lambda(c+d)\end{array}\right].
Comparando com T(\lambda X) do Passo 7, vemos que são iguais:
T(\lambda X)=\lambda T(X)\quad\text{para todo }\lambda\text{ e todo }X.
Assim a homogeneidade está verificada.]

Passo 9

Como verificamos explicitamente as duas propriedades exigidas (aditividade e homogeneidade) para matrizes arbitrárias X,Y e escalar \lambda, concluímos que T é uma transformação linear. Intuitivamente, cada entrada saída de T é uma combinação linear das entradas de entrada com coeficientes 0 ou 1, e combinações lineares preservam adição e multiplicação por escalar — por isso deu certo.

Resposta

Sim. T é uma transformação linear.

Exercícios relacionados