Determinar o valor de k para que seja L o conjunto \{(-1,0,2),(1,1,1),(k,-2,0)\}.
Passo 1
O enunciado fornece o conjunto L=\{(-1,0,2),(1,1,1),(k,-2,0)\} e pede para determinar o valor de k para que o conjunto tenha uma propriedade (assumo aqui que a propriedade pedida é ser linearmente dependente, que é o caso clássico). Dados importantes: os três vetores em \mathbb{R}^3 são
A pergunta que vou responder: determinar k tal que v_1,v_2,v_3 sejam linearmente dependentes.
Passo 2
O que significa “linearmente dependentes”? Vou explicar com calma. Três vetores v_1,v_2,v_3 são linearmente dependentes se existe uma combinação linear não trivial (ou seja, com coeficientes nem todos zero) que dê o vetor zero:
\alpha_1 v_1+\alpha_2 v_2+\alpha_3 v_3 = 0,
com alguns \alpha_i não todos nulos. Uma forma prática de testar isso em \mathbb{R}^3 é montar a matriz que tem esses vetores como colunas (ou como linhas) e calcular o determinante: se o determinante for zero, então as colunas são linearmente dependentes; se for diferente de zero, são linearmente independentes. Por quê? Intuitivamente, determinante zero significa que as colunas não geram todo o espaço \mathbb{R}^3 (há redundância entre elas), então existe combinação linear não trivial que zera.
Passo 3
Escolho o método do determinante porque é direto para três vetores em \mathbb{R}^3. Vou formar a matriz A cujas colunas são v_1,v_2,v_3:
Impondo a condição de dependência linear \det(A)=0, resolvo:
-6 -2k = 0.
Isolando k:
-2k = 6 \quad\Rightarrow\quad k = -3.
Interpretação final (útil para a prova): para k=-3 os três vetores são linearmente dependentes. Se a pergunta fosse “para que o conjunto seja linearmente independente (ou forma uma base de \mathbb{R}^3)”, a condição seria k\neq -3.