Determinar o valor de k para que seja L o conjunto \{(-1,0,2),(1,1,1),(k,-2,0)\}.

Passo 1

O enunciado fornece o conjunto L=\{(-1,0,2),(1,1,1),(k,-2,0)\} e pede para determinar o valor de k para que o conjunto tenha uma propriedade (assumo aqui que a propriedade pedida é ser linearmente dependente, que é o caso clássico). Dados importantes: os três vetores em \mathbb{R}^3 são
v_1 = (-1,0,2),\qquad v_2=(1,1,1),\qquad v_3=(k,-2,0).
A pergunta que vou responder: determinar k tal que v_1,v_2,v_3 sejam linearmente dependentes.

Passo 2

O que significa “linearmente dependentes”? Vou explicar com calma. Três vetores v_1,v_2,v_3 são linearmente dependentes se existe uma combinação linear não trivial (ou seja, com coeficientes nem todos zero) que dê o vetor zero:
\alpha_1 v_1+\alpha_2 v_2+\alpha_3 v_3 = 0,
com alguns \alpha_i não todos nulos. Uma forma prática de testar isso em \mathbb{R}^3 é montar a matriz que tem esses vetores como colunas (ou como linhas) e calcular o determinante: se o determinante for zero, então as colunas são linearmente dependentes; se for diferente de zero, são linearmente independentes. Por quê? Intuitivamente, determinante zero significa que as colunas não geram todo o espaço \mathbb{R}^3 (há redundância entre elas), então existe combinação linear não trivial que zera.

Passo 3

Escolho o método do determinante porque é direto para três vetores em \mathbb{R}^3. Vou formar a matriz A cujas colunas são v_1,v_2,v_3:
A=\begin{pmatrix} -1 & 1 & k\\[4pt] 0 & 1 & -2\\[4pt] 2 & 1 & 0 \end{pmatrix}.
O conjunto será linearmente dependente exatamente quando \det(A)=0.]

Passo 4

Calculo \det(A). Vou expandir pela primeira linha — mostrarei cada menor para ficar claro.
A expansão pela primeira linha dá
\det(A)=(-1)\cdot\det\begin{pmatrix}1 & -2\\[4pt]1 & 0\end{pmatrix} -1\cdot\det\begin{pmatrix}0 & -2\\[4pt]2 & 0\end{pmatrix} +k\cdot\det\begin{pmatrix}0 & 1\\[4pt]2 & 1\end{pmatrix}.
Agora calculo cada determinante 2×2:
\det\begin{pmatrix}1 & -2\\[4pt]1 & 0\end{pmatrix} = 1\cdot 0 - (-2)\cdot 1 = 2,
\det\begin{pmatrix}0 & -2\\[4pt]2 & 0\end{pmatrix} = 0\cdot 0 - (-2)\cdot 2 = 4,
\det\begin{pmatrix}0 & 1\\[4pt]2 & 1\end{pmatrix} = 0\cdot 1 - 1\cdot 2 = -2.
Substituindo na expressão para \det(A):
\det(A)=(-1)\cdot 2 - 1\cdot 4 + k\cdot(-2).
Simplificando os termos constantes:
\det(A)= -2 -4 -2k = -6 -2k.]

Passo 5

Impondo a condição de dependência linear \det(A)=0, resolvo:
-6 -2k = 0.
Isolando k:
-2k = 6 \quad\Rightarrow\quad k = -3.
Interpretação final (útil para a prova): para k=-3 os três vetores são linearmente dependentes. Se a pergunta fosse “para que o conjunto seja linearmente independente (ou forma uma base de \mathbb{R}^3)”, a condição seria k\neq -3.

Resposta

k=-3

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