Determine a transformação linear de \mathbb{R}^{3} em \mathbb{R}^{3}, tal que:
( 1,1,1 ) é um autovetor associado ao autovalor 3.
( 1,0,-1 ) é um autovetor associado ao autovalor 2 e
(1,-2,1) é um autovetor associado ao autovalor 6.
Passo 1
O enunciado pede uma transformação linear T:\mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}^{3}
que tenha como autovetores v_{1}=(1,1,1) com autovalor 3, v_{2}=(1,0,-1) com autovalor 2 e v_{3}=(1,-2,1) com autovalor 6.
Note que \{v_{1},v_{2},v_{3}\} é uma base de \mathbb{R}^{3}, pois esses vetores são linearmente independentes. Vamos usar o fato de que, na base \{v_{1},v_{2},v_{3}\}, a matriz de T é diagonal com entradas 3,2,6; em seguida voltamos à base padrão usando mudança de base.
Passo 2
Formamos a matriz P cujas colunas são os autovetores v_{1},v_{2},v_{3} e a matriz diagonal D dos autovalores: