Considere a transformação linear T: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2} que tem autovalor \lambda_{1}=5 associado ao autovetor (1,2) e o autovalor \lambda_{2}=10 associado ao autovetor (2,-1) :
(a) Escreva o vetor genérico ( x, y ) do \mathbb{R}^{2} como combinação linear da base \beta= \{(1,2),(2,-1)\}.
(b) Encontre T(x, y).
(c) Obtenha a matriz canônica de T.

Passo 1

O enunciado define uma transformação linear
\displaystyle T:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2
que tem dois autovalores e autovetores dados:
\lambda_1=5,\;v_1=(1,2), \qquad \lambda_2=10,\;v_2=(2,-1).
Pede-se:
(a) escrever um vetor genérico (x,y) como combinação da base \beta=\{v_1,v_2\},
(b) encontrar T(x,y),
(c) obter a matriz canônica de T.

Passo 2

Para (a), escrevemos
(x,y)=c_1\,(1,2)+c_2\,(2,-1),
o que dá o sistema
\begin{cases} c_1+2c_2 = x,\\\\ 2c_1 - c_2 = y. \end{cases}
Resolvendo, de c_1+2c_2=x vem c_1=x-2c_2. Substituindo em 2c_1-c_2=y:
2(x-2c_2)-c_2 = y \;\Longrightarrow\; 2x-5c_2=y \;\Longrightarrow\; c_2 = \frac{2x-y}{5}.
Então
c_1 = x - 2\;\frac{2x-y}{5} = \frac{5x - (4x-2y)}{5} = \frac{x+2y}{5}.

Passo 3

Portanto a resposta de (a) é
(x,y) = \frac{x+2y}{5}\,(1,2) \;+\;\frac{2x-y}{5}\,(2,-1).

Passo 4

Para (b), usamos linearidade e o fato de v_1,v_2 serem autovetores:
T(x,y) = T\Bigl(c_1v_1 + c_2v_2\Bigr) = c_1\,T(v_1) + c_2\,T(v_2) = c_1\,\lambda_1\,v_1 + c_2\,\lambda_2\,v_2.
Substituindo \lambda_1=5,\;\lambda_2=10 e os c_i:
T(x,y) =5\,\frac{x+2y}{5}\,(1,2) +10\,\frac{2x-y}{5}\,(2,-1) =(x+2y)\,(1,2) +2(2x-y)\,(2,-1).
Agora é só somar coordenadas:
T(x,y) =(x+2y+8x-4y,\;2x+4y-4x+2y) =(9x-2y,\;-2x+6y).

Passo 5

Para (c), a matriz canônica A é aquela que satisfaz
\;T(x,y)=A\,(x,y). Como T(x,y)=(9x-2y,\,-2x+6y), temos
A = \begin{pmatrix} 9 & -2\\\\ -2 & 6 \end{pmatrix}.

Resposta

(a) (x,y)=\dfrac{x+2y}{5}(1,2)+\dfrac{2x-y}{5}(2,-1).
(b) T(x,y)=(9x-2y,\,-2x+6y).
(c) \displaystyle A=\begin{pmatrix}9 & -2\\\ -2 & 6\end{pmatrix}.

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