Determine a transformação linear T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{P}_{2}(\mathbb{R}) tal que T(1,0,0)=1, T(0,1,0)=1+2 t e T(0,0,1)=t^{2}. Além disso, determine o núcleo e a imagem dessa transformação.

Passo 1

O enunciado dá uma transformação linear T:\mathbb{R}^3\to\mathbb{P}_2(\mathbb{R}) especificada em três vetores canônicos e pede três coisas: (i) determinar explicitamente T para um vetor genérico de \mathbb{R}^3; (ii) determinar o núcleo de T; (iii) determinar a imagem de T.
Informações fornecidas:
T(1,0,0)=1,\qquad T(0,1,0)=1+2t,\qquad T(0,0,1)=t^2.
Nada mais é pedido além dessas três determinações.

Passo 2

Lembrete rápido sobre linearidade (aula-pipoca): uma transformação T é linear se para quaisquer vetores u,v e escalar \lambda vale
T(u+v)=T(u)+T(v),\qquad T(\lambda u)=\lambda T(u).
Isso significa que, sabendo as imagens de uma base de \mathbb{R}^3 (por exemplo os vetores (1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)), sabemos a imagem de qualquer vetor por combinação linear. Seja um vetor genérico (a,b,c)\in\mathbb{R}^3. Podemos escrever
(a,b,c)=a(1,0,0)+b(0,1,0)+c(0,0,1).
Pela linearidade,
T(a,b,c)=a\,T(1,0,0)+b\,T(0,1,0)+c\,T(0,0,1).

Passo 3

Agora substituímos as imagens dadas:
T(a,b,c)=a\cdot 1 + b\cdot(1+2t) + c\cdot t^2.
Vamos organizar como polinômio em t. Somando os termos:
  • coeficiente do termo constante: a + b,
  • coeficiente de t: 2b,
  • coeficiente de t^2: c.
    Portanto, para todo (a,b,c)\in\mathbb{R}^3 vale
T(a,b,c)=(a+b) + (2b)\,t + c\,t^2.
Se preferir ver em coordenadas na base \{1,t,t^2\} de \mathbb{P}_2(\mathbb{R}), a imagem tem vetor de coordenadas
\begin{pmatrix}a+b\\[4pt]2b\\[4pt]c\end{pmatrix}.
Também, a matriz de T relativa à base canônica de \mathbb{R}^3 e à base \{1,t,t^2\} é dada pelas colunas formadas pelas coordenadas de T(1,0,0),T(0,1,0),T(0,0,1):
A=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 2 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.]

Passo 4

Agora vamos ao núcleo. Definição prática: \ker T=\{(a,b,c)\in\mathbb{R}^3 \mid T(a,b,c)=0\}, onde 0 é o polinômio nulo. Usamos a forma obtida em Passo 3 :
T(a,b,c)=(a+b) + (2b)\,t + c\,t^2 = 0.
O polinômio nulo tem todos os coeficientes zero, portanto impõe o sistema
a+b=0,\qquad 2b=0,\qquad c=0.
Da segunda equação obtemos b=0. Substituindo em a+b=0 a=0. E da terceira equação c=0. Logo a única solução é (a,b,c)=(0,0,0). Portanto
\ker T=\{(0,0,0)\}.
Comentário intuitivo: o núcleo é só o vetor zero, então T é injetora — nada além do zero vai para o polinômio zero.

Passo 5

Agora a imagem. Definição: \operatorname{Im}T=\{T(v)\mid v\in\mathbb{R}^3\}. Já sabemos que as imagens dos vetores da base geram a imagem:
\operatorname{Im}T=\operatorname{span}\{\,1,\;1+2t,\;t^2\,\}.
Queremos ver se isso é todo \mathbb{P}_2(\mathbb{R}) ou apenas um subespaço próprio. Duas maneiras rápidas:
  • Via independência linear: suponha \alpha\cdot 1+\beta\cdot(1+2t)+\gamma\cdot t^2=0. Isso dá
(\alpha+\beta)+ (2\beta)t + \gamma t^2=0.
Comparando coeficientes obtemos \gamma=0, \beta=0, \alpha=0. Logo os três polinômios são linearmente independentes; portanto formam uma base de um subespaço de dimensão 3. Como \dim\mathbb{P}_2(\mathbb{R})=3, segue que esse subespaço tem dimensão 3 e assim coincide com \mathbb{P}_2(\mathbb{R}).
  • Via teorema dimensão (rank-nullity): \dim\mathbb{R}^3=3. Encontramos \dim\ker T=0, logo \dim\operatorname{Im}T=3. Como \dim\mathbb{P}_2(\mathbb{R})=3, a imagem é todo o espaço.
Portanto
\operatorname{Im}T=\mathbb{P}_2(\mathbb{R}).

Resposta

T(a,b,c)=(a+b)+(2b)\,t+c\,t^{2}.
\ker T=\{(0,0,0)\}.
\operatorname{Im}T=\mathbb{P}_{2}(\mathbb{R}).

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