onde B^{\prime}=\{(1,1,1),(1,0,1),(1,0,0)\} e B^{\prime \prime}=\{(2,1),(5,3)\}.
Passo 1
O enunciado dá uma transformação linear S:\mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}^{2} cuja matriz em relação à base do domínio B'=\{(1,1,1),(1,0,1),(1,0,0)\} e à base do contradomínio B''=\{(2,1),(5,3)\} é
O que o exercício pede é determinar a transformação S explicitamente (por exemplo, sua matriz na base canônica de \mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^2 ou uma fórmula do tipo S(x,y,z)=\dots). Informações relevantes fornecidas:
Base do domínio B' (vetores em coordenadas canônicas): \;b'_1=(1,1,1),\; b'_2=(1,0,1),\; b'_3=(1,0,0).
Base do contradomínio B'' (vetores em \mathbb{R}^2 na base canônica): \;u_1=(2,1),\; u_2=(5,3).
A matriz [S]_{B''}^{B'} tem colunas que são as coordenadas de S(b'_j) na base B''.]
Passo 2
Interpretação prática da matriz: cada coluna j de [S]_{B''}^{B'} nos dá os coeficientes \alpha,\beta tais que
S(b'_j)=\alpha\,u_1+\beta\,u_2,
onde (\alpha,\beta)^T é a coluna j da matriz dada. Vamos extrair essas imagens em coordenadas canônicas.
Estratégia para obter a matriz de S na base canônica (isto é, a matriz M tal que S(x)=M x para x\in\mathbb{R}^3): monte
a matriz P cujas colunas são os vetores da base B' escritos na base canônica,
a matriz Q cujas colunas são os vetores S(b'_j) na base canônica.
Então vale a relação
M = Q P^{-1},
porque aplicar P^{-1} dá coordenadas em B' e então Q transforma essas coordenadas no resultado em coordenadas canônicas. Vou calcular P, Q, P^{-1} e finalmente M.
Subtraindo a segunda linha da primeira e da terceira, e reorganizando, e completando as operações, chegamos à forma reduzida cuja parte direita é P^{-1}. O resultado (mostrando o inverso obtido) é
Podemos verificar rapidamente que aplicando M aos vetores de B' obtemos as imagens calculadas: por exemplo M(1,1,1)=(5-38+12,\,3-23+7)=(-21,-13), que coincide com S(b'_1) encontrado antes.]