Determine a transformação linear S: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{2}, tal que
[S]_{B^{\prime \prime}}^{B^{\prime}}=\left[\begin{array}{ccc} 2 & 1 & 0 \\\\ -5 & 3 & 1 \end{array}\right]
onde B^{\prime}=\{(1,1,1),(1,0,1),(1,0,0)\} e B^{\prime \prime}=\{(2,1),(5,3)\}.

Passo 1

O enunciado dá uma transformação linear S:\mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}^{2} cuja matriz em relação à base do domínio B'=\{(1,1,1),(1,0,1),(1,0,0)\} e à base do contradomínio B''=\{(2,1),(5,3)\} é
[S]_{B''}^{B'}=\begin{pmatrix} 2 & 1 & 0\\[4pt] -5 & 3 & 1 \end{pmatrix}.
O que o exercício pede é determinar a transformação S explicitamente (por exemplo, sua matriz na base canônica de \mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^2 ou uma fórmula do tipo S(x,y,z)=\dots). Informações relevantes fornecidas:
  • Base do domínio B' (vetores em coordenadas canônicas): \;b'_1=(1,1,1),\; b'_2=(1,0,1),\; b'_3=(1,0,0).
  • Base do contradomínio B'' (vetores em \mathbb{R}^2 na base canônica): \;u_1=(2,1),\; u_2=(5,3).
  • A matriz [S]_{B''}^{B'} tem colunas que são as coordenadas de S(b'_j) na base B''.]

Passo 2

Interpretação prática da matriz: cada coluna j de [S]_{B''}^{B'} nos dá os coeficientes \alpha,\beta tais que
S(b'_j)=\alpha\,u_1+\beta\,u_2,
onde (\alpha,\beta)^T é a coluna j da matriz dada. Vamos extrair essas imagens em coordenadas canônicas.
A matriz dada tem colunas
c_1=\begin{pmatrix}2\\\ -5\end{pmatrix},\quad c_2=\begin{pmatrix}1\\\ 3\end{pmatrix},\quad c_3=\begin{pmatrix}0\\\ 1\end{pmatrix}.
Portanto:
  • Para b'_1: S(b'_1)=2\,u_1+(-5)\,u_2. Calculando em coordenadas canônicas:
S(b'_1)=2(2,1)-5(5,3)=(4,2)+(-25,-15)=(-21,-13).
  • Para b'_2: S(b'_2)=1\,u_1+3\,u_2. Calculando:
S(b'_2)=(2,1)+3(5,3)=(2,1)+(15,9)=(17,10).
  • Para b'_3: S(b'_3)=0\,u_1+1\,u_2=1\cdot u_2. Calculando:
S(b'_3)= (5,3).
Assim temos as imagens em coordenadas canônicas:
S(b'_1)=(-21,-13),\quad S(b'_2)=(17,10),\quad S(b'_3)=(5,3).

Passo 3

Estratégia para obter a matriz de S na base canônica (isto é, a matriz M tal que S(x)=M x para x\in\mathbb{R}^3): monte
  • a matriz P cujas colunas são os vetores da base B' escritos na base canônica,
  • a matriz Q cujas colunas são os vetores S(b'_j) na base canônica.
    Então vale a relação
M = Q P^{-1},
porque aplicar P^{-1} dá coordenadas em B' e então Q transforma essas coordenadas no resultado em coordenadas canônicas. Vou calcular P, Q, P^{-1} e finalmente M.

Passo 4

Formamos P e Q:
P=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\[4pt] 1 & 0 & 0\\[4pt] 1 & 1 & 0 \end{pmatrix},\qquad Q=\begin{pmatrix} -21 & 17 & 5\\[4pt] -13 & 10 & 3 \end{pmatrix}.
Agora calculamos P^{-1}. Faço eliminação de Gauss (mostro as operações essenciais):
Matriz aumentada (P\mid I):
\left(\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0\\[4pt] 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0\\[4pt] 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right).
Subtraindo a segunda linha da primeira e da terceira, e reorganizando, e completando as operações, chegamos à forma reduzida cuja parte direita é P^{-1}. O resultado (mostrando o inverso obtido) é
P^{-1}=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0\\[4pt] 0 & -1 & 1\\[4pt] 1 & 0 & -1 \end{pmatrix}.
(Verificação rápida: P P^{-1}=I_3; pode confiar no cálculo porque o determinante de P foi 1, logo é invertível.)]

Passo 5

Agora calculamos M=Q P^{-1}. Multiplicando 2\times3 por 3\times3:
Usamos as colunas de P^{-1}. As colunas são
v_1=\begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ 1\end{pmatrix},\quad v_2=\begin{pmatrix}1\\\ -1\\\ 0\end{pmatrix},\quad v_3=\begin{pmatrix}0\\\ 1\\\ -1\end{pmatrix}.
A coluna j de M é Q v_j, isto é, combinação linear das colunas de Q.
  • Coluna 1 de M: Q v_1= terceira coluna de Q =(5,3).
  • Coluna 2 de M: Q v_2= coluna1 -coluna2 =(-21, -13)-(17,10)=(-38,-23).
  • Coluna 3 de M: Q v_3= coluna2 -coluna3 =(17,10)-(5,3)=(12,7).
Portanto
M=\begin{pmatrix} 5 & -38 & 12\\[4pt] 3 & -23 & 7 \end{pmatrix}.]

Passo 6

Interpretação final: a transformação S na base canônica é dada pela multiplicação por M. Ou seja, para um vetor (x,y,z)\in\mathbb{R}^3,
S(x,y,z)=\begin{pmatrix} 5 & -38 & 12\\[4pt] 3 & -23 & 7 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\[4pt] y\\[4pt] z\end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 5x-38y+12z\\[4pt] 3x-23y+7z \end{pmatrix}.
Podemos verificar rapidamente que aplicando M aos vetores de B' obtemos as imagens calculadas: por exemplo M(1,1,1)=(5-38+12,\,3-23+7)=(-21,-13), que coincide com S(b'_1) encontrado antes.]

Resposta

S(x,y,z)=\begin{pmatrix} 5 & -38 & 12\\[4pt] 3 & -23 & 7 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\[4pt] y\\[4pt] z\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}5x-38y+12z\\[4pt]3x-23y+7z\end{pmatrix}.]

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