Q9: Encontre a solução, no sentido dos mínimos quadrados, do sistema linear Q \vec{x}=\vec{b}, representado abaixo por sua matriz aumentada:
\left[\begin{array}{rr|r} 4 & 1 & 5 \\\\ 1 & 4 & 3 \\\\ 4 & -2 & 19 \end{array}\right]
Assinale o valor de x_{1}, a 1^{\mathrm{a}} entrada da solução \vec{x}.
(A) -2
(B) 1
(C) -1
(D) 3
(E) Não sei

Passo 1

O enunciado pede: encontrar a solução, no sentido dos mínimos quadrados, do sistema linear representado pela matriz aumentada
\left[\begin{array}{rr|r} 4 & 1 & 5 \\\\ 1 & 4 & 3 \\\\ 4 & -2 & 19 \end{array}\right].
Pergunta específica: qual é o valor de x_{1}, a primeira entrada do vetor solução \vec{x}.
Informações dadas (retiradas da matriz aumentada acima):
Q=\begin{pmatrix}4 & 1\\[4pt]1 & 4\\[4pt]4 & -2\end{pmatrix},\qquad \vec{b}=\begin{pmatrix}5\\[4pt]3\\[4pt]19\end{pmatrix}.
Temos 3 equações e 2 incógnitas (sistema possivelmente sem solução exata), então o problema pede a solução pelo método dos mínimos quadrados.]

Passo 2

O que significa “solução no sentido dos mínimos quadrados”?
Explicação didática: para um sistema Q\vec{x}=\vec{b} com Q de dimensão m\times n e m>n, pode não existir \vec{x} que resolva exatamente. A solução de mínimos quadrados é o vetor \vec{x} que minimiza o quadrado da norma do resíduo \|Q\vec{x}-\vec{b}\|^{2}. Esse vetor satisfaz as equações normais
Q^{T}Q\vec{x}=Q^{T}\vec{b}.
Aqui Q^{T} é a transposta de Q. A ideia é projetar \vec{b} sobre o espaço coluna de Q e achar \vec{x} que produz essa projeção.

Passo 3

Vamos montar as matrizes necessárias a partir de Q e \vec{b} (dados no Passo 1). Primeiro calculamos Q^{T}, a transposta de Q:
Q^{T}=\begin{pmatrix}4 & 1 & 4\\[4pt]1 & 4 & -2\end{pmatrix}.]

Passo 4

Calculemos Q^{T}Q. É uma matriz 2\times 2 cujas entradas são produtos internos das colunas de Q.
As colunas de Q são
\mathbf{q}_1=\begin{pmatrix}4\\[2pt]1\\[2pt]4\end{pmatrix},\qquad \mathbf{q}_2=\begin{pmatrix}1\\[2pt]4\\[2pt]-2\end{pmatrix}.
Agora os elementos de Q^{T}Q:
(Q^{T}Q)_{11}=\mathbf{q}_1\cdot\mathbf{q}_1=4^{2}+1^{2}+4^{2}=16+1+16=33,
(Q^{T}Q)_{22}=\mathbf{q}_2\cdot\mathbf{q}_2=1^{2}+4^{2}+(-2)^{2}=1+16+4=21,
(Q^{T}Q)_{12}=(Q^{T}Q)_{21}=\mathbf{q}_1\cdot\mathbf{q}_2=4\cdot1+1\cdot4+4\cdot(-2)=4+4-8=0.
Portanto
Q^{T}Q=\begin{pmatrix}33 & 0\\[4pt]0 & 21\end{pmatrix}.
Observação: deu uma matriz diagonal, o que facilita muito a resolução — cada variável fica praticamente separada.]

Passo 5

Calculemos Q^{T}\vec{b}. Multiplicamos a transposta por \vec{b}:
Q^{T}\vec{b}= \begin{pmatrix}4 & 1 & 4\\[4pt]1 & 4 & -2\end{pmatrix} \begin{pmatrix}5\\[2pt]3\\[2pt]19\end{pmatrix}.
Computando componente a componente:
(Q^{T}\vec{b})_{1}=4\cdot5+1\cdot3+4\cdot19=20+3+76=99,
(Q^{T}\vec{b})_{2}=1\cdot5+4\cdot3+(-2)\cdot19=5+12-38=-21.
Logo
Q^{T}\vec{b}=\begin{pmatrix}99\\[4pt]-21\end{pmatrix}.]

Passo 6

Agora resolvemos as equações normais
\begin{pmatrix}33 & 0\\[4pt]0 & 21\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_{1}\\[4pt]x_{2}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}99\\[4pt]-21\end{pmatrix}.
Como a matriz é diagonal, cada equação separa-se:
33x_{1}=99,\qquad 21x_{2}=-21.
Resolvendo:
x_{1}=\frac{99}{33}=3,\qquad x_{2}=\frac{-21}{21}=-1.]

Passo 7

Interpretação rápida e checagem: obtivemos \vec{x}=(3,\,-1)^{T}. Se quisermos, podemos calcular o resíduo Q\vec{x}-\vec{b} para ver que é minimizado, mas não é necessário para responder a pergunta pedida.

Resposta

(D) \,3

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